Serie di funzioni

[nic111]

Ciao a tutti
Mi sto esercitando per sostenere Analisi II e ho riscontrato un problema nella risoluzione del seguente esercizio:
La serie di funzioni $\sum_{n=1}^infty (nx)/(1+n^3x^2)$ converge totalmente in $[0,infty)$?

Io so che $f_n(0)=0$ e $lim n->infty f_n(x_0)=0$ so che c'è un punto di massimo, ho calcolato la derivata prima trovando come punto di max il valore $1/n^(3/2)$.
Ho di conseguenza calcolato $lim n->infty f_n(1/n^(3/2))$ trovando come risultato $0$.
Perciò deduco che la serie converga totalmente in $[0,infty)$ ma la soluzione dell'esercizio dice che non converge.
Dove sbaglio?

(Per la soluzione di questo esercizio mi baso sul teorema che una serie converge totalmente se e solo se $\sum_{n=1}^infty $Sup $x in [0,infty]$ $ |f_n(x)|

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Risposte

anto_zoolander

19 ago 2019, 03:09

Ciao!

posto $f_(n)(x)=(nx)/(1+n^3x^2)$

quello che hai calcolato, ed è corretto, è il punto di massimo ( in quell'insieme ) di una generica $f_n$ ma ciò che ti serve è esattamente il massimo che sarà

$f_(n)(x_n)=1/(2sqrt(n))$

essendo $sum_(n=0)^(+infty)s u p_(x in [0,+infty))abs(f_n(x))=sum_(n=0)^(+infty)1/(2sqrt(n))=+infty$

la serie non converge totalmente

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nic111

19 ago 2019, 08:24

Ciao,

Anch'io ero arrivato al punto: $sum_{n=0}^\infty 1/(2*sqrt(n))$ però ero convinto che la serie convergesse a 0 come mai diverge?
Forse perché la si può comparare con la serie armonica?

Grazie per la risposta!

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anto_zoolander

19 ago 2019, 17:04

come fa una serie a termini strettamente positivi a convergere a zero?

la serie $sum_(n=1)^(+infty)1/n^p$ ha le seguenti caratteristiche

se $pleq0$ allora $n^(-p)$ non tende a zero quindi la serie non converge

se $p>0$

considera la funzione $f(x)=1/x^p$ con $x in [1,infty)$
tale funzione è strettamente decrescente quindi

se $x in [n,n+1]$ si ha $1/(n+1)^pleq1/x^pleq1/n^p => 1/(n+1)^pleqint_(n)^(n+1)1/x^pdxleq1/n^p$

quindi $sum_(n=1)^(+infty)1/(n+1)^pleqlim_(n->+infty)int_(1)^(n+1)1/x^p dxleqsum_(n=1)^(+infty)1/n^p$

se $p=1$ allora quell'integrale è $log(n+1)$ che diverge e fa divergere la serie

se $pne1,p>0$ allora quell'integrale è $[x^(1-p)/(1-p)]_(1)^(n+1)=(n+1)^(1-p)/(1-p)-1/(1-p)$

pertanto se $p<1 => 1-p>0$ e l'integrale diverge quindi la serie diverge
se invece $p>1 => 1-p<0$ e l'integrale converge quindi la serie converge

riassumendo:

se $pleq1$ la serie diverge
se $p>1$ la serie converge

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nic111

19 ago 2019, 18:19

Capito,
Grazie mille per la spiegazione

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[anto_zoolander]

Ciao!

posto $f_(n)(x)=(nx)/(1+n^3x^2)$

quello che hai calcolato, ed è corretto, è il punto di massimo ( in quell'insieme ) di una generica $f_n$ ma ciò che ti serve è esattamente il massimo che sarà

$f_(n)(x_n)=1/(2sqrt(n))$

essendo $sum_(n=0)^(+infty)s u p_(x in [0,+infty))abs(f_n(x))=sum_(n=0)^(+infty)1/(2sqrt(n))=+infty$

la serie non converge totalmente

[nic111]

Ciao,

Anch'io ero arrivato al punto: $sum_{n=0}^\infty 1/(2*sqrt(n))$ però ero convinto che la serie convergesse a 0 come mai diverge?
Forse perché la si può comparare con la serie armonica?

Grazie per la risposta!

[anto_zoolander]

come fa una serie a termini strettamente positivi a convergere a zero?

la serie $sum_(n=1)^(+infty)1/n^p$ ha le seguenti caratteristiche

se $pleq0$ allora $n^(-p)$ non tende a zero quindi la serie non converge

se $p>0$

considera la funzione $f(x)=1/x^p$ con $x in [1,infty)$
tale funzione è strettamente decrescente quindi

se $x in [n,n+1]$ si ha $1/(n+1)^pleq1/x^pleq1/n^p => 1/(n+1)^pleqint_(n)^(n+1)1/x^pdxleq1/n^p$

quindi $sum_(n=1)^(+infty)1/(n+1)^pleqlim_(n->+infty)int_(1)^(n+1)1/x^p dxleqsum_(n=1)^(+infty)1/n^p$

se $p=1$ allora quell'integrale è $log(n+1)$ che diverge e fa divergere la serie

se $pne1,p>0$ allora quell'integrale è $[x^(1-p)/(1-p)]_(1)^(n+1)=(n+1)^(1-p)/(1-p)-1/(1-p)$

pertanto se $p<1 => 1-p>0$ e l'integrale diverge quindi la serie diverge
se invece $p>1 => 1-p<0$ e l'integrale converge quindi la serie converge

riassumendo:

se $pleq1$ la serie diverge
se $p>1$ la serie converge

[nic111]

Capito,
Grazie mille per la spiegazione