Serie di funzioni
Ho la serie di funzioni
$ sum_(n=1 )^(+infty) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $
1) determinare l'insieme di convergenza puntuale
2) stabilire se la serie converge uniformemente in $[0,1]$
3) stabilire se la serie converge totalmente in $[0,1]$
Ora non so se il ragionamento che ho fatto per il primo punto è corretto, considero che se $x=0$ ho $(-1)^n/n$ che per Leibniz converge; se $x!=0$ ho $ sum_(n=1 )^(+infty) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $, sono verificate le ipotesi di Leibnitz però devo dimostrare che $(x^2+n)/n^2$ è decrescente, se calcolo la derivata ho $2x/n^2$ e affermo che quindi è decrescente solo se $x<0$, quindi direi che l'insieme di convergenza puntuale è $(-infty,0]$ ma poi non avrebbero senso gli altri due punti dell'esercizio; cosa sbaglio?
$ sum_(n=1 )^(+infty) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $
1) determinare l'insieme di convergenza puntuale
2) stabilire se la serie converge uniformemente in $[0,1]$
3) stabilire se la serie converge totalmente in $[0,1]$
Ora non so se il ragionamento che ho fatto per il primo punto è corretto, considero che se $x=0$ ho $(-1)^n/n$ che per Leibniz converge; se $x!=0$ ho $ sum_(n=1 )^(+infty) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $, sono verificate le ipotesi di Leibnitz però devo dimostrare che $(x^2+n)/n^2$ è decrescente, se calcolo la derivata ho $2x/n^2$ e affermo che quindi è decrescente solo se $x<0$, quindi direi che l'insieme di convergenza puntuale è $(-infty,0]$ ma poi non avrebbero senso gli altri due punti dell'esercizio; cosa sbaglio?
Risposte
Ciao, il criterio di Leibniz ti dice che se \( a_n \) è una successione a valori non negativi, non crescente e infinitesima allora la serie
\[ \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n a_n \]
converge.
Nel tuo caso, per ogni \( x \in \mathbb{R} \) fissato, hai una successione \( a^{(x)}_n = \frac{x^2+n}{n^2} \). Se tu dunque dimostri che per qualche \( x \) la relativa successione \( a^{(x)}_n \) soddisfa le ipotesi del teorema, allora sai che per quella \(x \) la serie converge, ovvero hai convergenza puntuale.
Andiamo dunque ad analizzare come si comportano queste successioni. L'unica verifica non immediata è quella della decrescenza. Estendo la successione \( a^{(x)}_n \) ad una funzione \( f_x(t) : \mathbb{R} \to [0, \infty) \) tale che \(f_x(n) = a^{(x)}_n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Questo lo si fa perché NON si può derivare una successione, ma una funzione sì! Se dimostriamo che la funzione \(f_x \) è decrescente per qualche \( x \) allora anche la rispettiva successione \( a^{(x)}_n \) sarà decrescente.
Calcoliamo la derivata della nostra funzione:
Sia \[ f_x(t):= \frac{x^2+t}{t^2} \quad t \ge 1 \]
Allora
\[ \frac{df_x}{dt} = \frac{t^2-2t(x^2+t)}{t^4} = \frac{-2tx^2-t^2}{t^4} \ge 0 \Leftrightarrow 2x^2+t \le 0 \Leftrightarrow t \le -2x^2 \le 0 \]
Che non è mai verificata.
Da cui ricaviamo che per ogni \( x \in \mathbb{R} \) le successioni \( a^{(x)}_n \) sono decrescenti e dunque per il criterio di Leibniz abbiamo convergenza puntuale.
In definitiva la tua serie converge puntualmente su tutto \( \mathbb{R} \).
Non so come tu abbia fatto a calcolare quella "derivata", controlla!
Attenta, se anche il criterio di Leibniz funzionasse per un certo insieme di \( A \subset \mathbb{R} \) e non altrove, questo ti garantisce la convergenza puntuale in \(A \) ma nulla ti dice sulla convergenza puntuale al di fuori di \(A \), cioè non puoi concludere che non converge puntualmente al di fuori di \(A \).
Se fin qua è tutto chiaro ci occupiamo del resto.
\[ \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n a_n \]
converge.
Nel tuo caso, per ogni \( x \in \mathbb{R} \) fissato, hai una successione \( a^{(x)}_n = \frac{x^2+n}{n^2} \). Se tu dunque dimostri che per qualche \( x \) la relativa successione \( a^{(x)}_n \) soddisfa le ipotesi del teorema, allora sai che per quella \(x \) la serie converge, ovvero hai convergenza puntuale.
Andiamo dunque ad analizzare come si comportano queste successioni. L'unica verifica non immediata è quella della decrescenza. Estendo la successione \( a^{(x)}_n \) ad una funzione \( f_x(t) : \mathbb{R} \to [0, \infty) \) tale che \(f_x(n) = a^{(x)}_n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Questo lo si fa perché NON si può derivare una successione, ma una funzione sì! Se dimostriamo che la funzione \(f_x \) è decrescente per qualche \( x \) allora anche la rispettiva successione \( a^{(x)}_n \) sarà decrescente.
Calcoliamo la derivata della nostra funzione:
Sia \[ f_x(t):= \frac{x^2+t}{t^2} \quad t \ge 1 \]
Allora
\[ \frac{df_x}{dt} = \frac{t^2-2t(x^2+t)}{t^4} = \frac{-2tx^2-t^2}{t^4} \ge 0 \Leftrightarrow 2x^2+t \le 0 \Leftrightarrow t \le -2x^2 \le 0 \]
Che non è mai verificata.
Da cui ricaviamo che per ogni \( x \in \mathbb{R} \) le successioni \( a^{(x)}_n \) sono decrescenti e dunque per il criterio di Leibniz abbiamo convergenza puntuale.
In definitiva la tua serie converge puntualmente su tutto \( \mathbb{R} \).
"Valchiria":
[...] se calcolo la derivata ho $ 2x/n^2 $ [...]
Non so come tu abbia fatto a calcolare quella "derivata", controlla!
"Valchiria":
[...] è decrescente solo se $ x<0 $, quindi direi che l'insieme di convergenza puntuale è $ (-infty,0] $ [...]
Attenta, se anche il criterio di Leibniz funzionasse per un certo insieme di \( A \subset \mathbb{R} \) e non altrove, questo ti garantisce la convergenza puntuale in \(A \) ma nulla ti dice sulla convergenza puntuale al di fuori di \(A \), cioè non puoi concludere che non converge puntualmente al di fuori di \(A \).
Se fin qua è tutto chiaro ci occupiamo del resto.
"Valchiria":
[...] se calcolo la derivata ho $ 2x/n^2 $ [...]
Non so come tu abbia fatto a calcolare quella "derivata", controlla!
Sembra che, nel cercare di dimostrare la decrescenza, abbia derivato $a_n$ rispetto a $x$ considerando $n$ costante; però, anche se avesse senso in questo contesto, questo direbbe qualcosa della monotonia rispetto a $x$ e non rispetto a $n$ come richiede il criterio di Leibniz (che richiede la decrescenza rispetto agli indici della successione, ossia che $a_(n+1)$ sia minore di $a_n$ definitivamente).
Volevo postarlo ieri ma non ero sicuro avesse senso, aspettiamo una risposta da colui che ha postato perché sono troppo curioso per quella derivata
se quello che ho scritto è ciò che effettivamente è stato fatto, spero che il mio intervento sia di aiuto a fare chiarezza .
Innanzitutto grazie mille per la risposta dettagliata, mi è rimasto un dubbio su questo, che si ricollega agli altri punti dell'esercizio:
Per il criterio di Leibniz mi interessa l'andamento della successione, perciò derivo una funzione descritta come hai fatto tu, infatti come ha scritto Mephlip
io senza pensarci bene ieri per studiare l'andamento della successione ho seguito il procedimento che si segue per studiare il termine generale della serie di funzioni $f_n(x)$, cioè come si fa nella convergenza totale: derivo rispetto ad x per trovare un eventuale massimo per poi studiare quindi la convergenza di una nuova successione con i valori di $x_(MAX)$ fissati. Nel caso della convergenza puntuale mi interessa sapere per quali x fissati posso ricondurre $ sum_(n=1)^(+infty) f_n(x) $ ad una serie numerica che converge, nella convergenza totale invece mi serve trovare certi valori di x per poi trarre conclusioni
Quindi, è lecito studiare l'andamento di $f_n(x)$ rispetto ad $x$ solo nella totale?Alla fine devo sempre ricondurmi a studiare una serie numerica, considerare le $x$ mi serve solo per fissarle e poi considerare la convergenza?
L'esercizio l'avrei continuato così:
Per valutare sia 2) che 3) verifico se c'è convergenza totale direttamente perchè implica quella uniforme
verifico se $sum_(n=1)^(+infty) || f_n(x) ||_(infty,[0,1]) $ converge quindi studio la derivata rispetto ad $x$ perchè mi interessa $ Sup| f_n(x) |$, ottengo $ 2x/n^2 $, da cui ricavo che in [0,1] il massimo è 1, $ Sup| f_n(x) |=|f_n(1)|=(1+n)/n^2$ che diverge per confronto con la serie armonica
edit: Se non c'è nessun errore in quello che ho scritto, come valuto la convergenza uniforme?
"Bremen000":
Andiamo dunque ad analizzare come si comportano queste successioni. [...] NON si può derivare una successione, ma una funzione sì!
Per il criterio di Leibniz mi interessa l'andamento della successione, perciò derivo una funzione descritta come hai fatto tu, infatti come ha scritto Mephlip
"Mephlip":
Sembra che, nel cercare di dimostrare la decrescenza, abbia derivato $ a_n $ rispetto a $ x $ considerando $ n $ costante; però, anche se avesse senso in questo contesto, questo direbbe qualcosa della monotonia rispetto a $ x $ e non rispetto a $ n $ come richiede il criterio di Leibniz (che richiede la decrescenza rispetto agli indici della successione, ossia che $ a_(n+1) $ sia minore di $ a_n $ definitivamente).
io senza pensarci bene ieri per studiare l'andamento della successione ho seguito il procedimento che si segue per studiare il termine generale della serie di funzioni $f_n(x)$, cioè come si fa nella convergenza totale: derivo rispetto ad x per trovare un eventuale massimo per poi studiare quindi la convergenza di una nuova successione con i valori di $x_(MAX)$ fissati. Nel caso della convergenza puntuale mi interessa sapere per quali x fissati posso ricondurre $ sum_(n=1)^(+infty) f_n(x) $ ad una serie numerica che converge, nella convergenza totale invece mi serve trovare certi valori di x per poi trarre conclusioni
Quindi, è lecito studiare l'andamento di $f_n(x)$ rispetto ad $x$ solo nella totale?Alla fine devo sempre ricondurmi a studiare una serie numerica, considerare le $x$ mi serve solo per fissarle e poi considerare la convergenza?
L'esercizio l'avrei continuato così:
Per valutare sia 2) che 3) verifico se c'è convergenza totale direttamente perchè implica quella uniforme
verifico se $sum_(n=1)^(+infty) || f_n(x) ||_(infty,[0,1]) $ converge quindi studio la derivata rispetto ad $x$ perchè mi interessa $ Sup| f_n(x) |$, ottengo $ 2x/n^2 $, da cui ricavo che in [0,1] il massimo è 1, $ Sup| f_n(x) |=|f_n(1)|=(1+n)/n^2$ che diverge per confronto con la serie armonica
edit: Se non c'è nessun errore in quello che ho scritto, come valuto la convergenza uniforme?
Per la convergenza puntuale: attenta che non ha senso ciò che dici. Tu devi fissare \(x \) e per quella \(x \) fissata guardare cosa fa la successione numerica \(f_n(x) \) al variare di \( n \in \mathbb{N} \). Per esempio se \( x= 7 \) allora devi studiare la serie numerica
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{49+n}{n^2} \]
e puoi dimostrare che per Leibniz converge. Quindi hai convergenza puntuale per \(x=7 \). Lo studio che ho fatto io all'inizio è esattamente questo, però non per una particolare \( x \) ma per \( x \) fissata generica. La derivata che ho fatto è semplicemente un trucco per andare a vedere come si comporta la successione "facendo finta" che sia una funzione. Ma non derivo rispetto a \( x \).
Per la convergenza totale mi sembra tutto ok: la serie dei massimi non converge e dunque non può esserci convergenza totale.
Per la convergenza uniforme, sai che il criterio di Leibniz ti da anche una stima del resto, no?
\[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{49+n}{n^2} \]
e puoi dimostrare che per Leibniz converge. Quindi hai convergenza puntuale per \(x=7 \). Lo studio che ho fatto io all'inizio è esattamente questo, però non per una particolare \( x \) ma per \( x \) fissata generica. La derivata che ho fatto è semplicemente un trucco per andare a vedere come si comporta la successione "facendo finta" che sia una funzione. Ma non derivo rispetto a \( x \).
Per la convergenza totale mi sembra tutto ok: la serie dei massimi non converge e dunque non può esserci convergenza totale.
Per la convergenza uniforme, sai che il criterio di Leibniz ti da anche una stima del resto, no?
Si ok, è quello che intedevo qui
Ho considerato:
Il resto della serie $|r_n|<=|a_(n+1)|$
la convergenza è uniforme in [1,0] se
$ lim_(n-> +infty) Sup|f(x)-sum_(k=1) ^ n f_k(x)|=0 $
$|r_n|=|f(x)-sum_(k=1) ^ (n) f_k(x)|<=|a_(n+1)|$
$ a_(n+1)(x)=(x+n+1)/(n+1)^2<=(max{0,1}+n+1)/(n+1)^2 $
$|r_n|<=|a_(n+1)|=(x+n+1)/(n+1)^2<=(1+n+1)/(n+1)^2 $
$|f(x)-sum_(k=1) ^ (n) f_k(x)|<=(1+n+1)/(n+1)^2$
$ lim_(n-> +infty) Sup|f(x)-sum_(k=1) ^ (n) f_k(x)|= lim_(n-> +infty) Sup|r_n|= lim_(n-> +infty)(1+n+1)/(n+1)^2=0 $
per cui c'è convergenza uniforme
errori/imprecisioni?
"Valchiria":
Nel caso della convergenza puntuale mi interessa sapere per quali x fissati posso ricondurre $ sum_(n=1)^(+infty) f_n(x) $ ad una serie numerica che converge
Ho considerato:
Il resto della serie $|r_n|<=|a_(n+1)|$
la convergenza è uniforme in [1,0] se
$ lim_(n-> +infty) Sup|f(x)-sum_(k=1) ^ n f_k(x)|=0 $
$|r_n|=|f(x)-sum_(k=1) ^ (n) f_k(x)|<=|a_(n+1)|$
$ a_(n+1)(x)=(x+n+1)/(n+1)^2<=(max{0,1}+n+1)/(n+1)^2 $
$|r_n|<=|a_(n+1)|=(x+n+1)/(n+1)^2<=(1+n+1)/(n+1)^2 $
$|f(x)-sum_(k=1) ^ (n) f_k(x)|<=(1+n+1)/(n+1)^2$
$ lim_(n-> +infty) Sup|f(x)-sum_(k=1) ^ (n) f_k(x)|= lim_(n-> +infty) Sup|r_n|= lim_(n-> +infty)(1+n+1)/(n+1)^2=0 $
per cui c'è convergenza uniforme
errori/imprecisioni?
Si mi sembra tutto corretto.
Perdonami per essermi ripetuto prima ma le mie perplessità scaturivano per la derivata che avevi fatto rispetto a \(x\ ).
Perdonami per essermi ripetuto prima ma le mie perplessità scaturivano per la derivata che avevi fatto rispetto a \(x\ ).
Grazie mille
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