Serie di funzioni
Buon pomeriggio
Devo studiare questa serie
$sum_(n=1) x e^(-nx) /n$
Posso utilizzare il criterio del rapporto, tramite il quale ottengo $e^(-x) $ e poi risolvere $e^(-x) <1$?
Devo studiare questa serie
$sum_(n=1) x e^(-nx) /n$
Posso utilizzare il criterio del rapporto, tramite il quale ottengo $e^(-x) $ e poi risolvere $e^(-x) <1$?
Risposte
Ciao Ianya,
La serie proposta certamente converge a $0 $ per $ x = 0 $.
Per $x \ne 0 $ si può scrivere:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x e^(-nx)/n = x \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^{- x})^n/n $
Posto $y := e^{-x} $ l'ultima scritta è una serie del tipo $\sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) $ per $ - 1\le y < 1 $, pertanto si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x e^(-nx)/n = x \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^{- x})^n/n = - x ln(1 - e^{-x}) $
per $x > 0 $
La serie proposta certamente converge a $0 $ per $ x = 0 $.
Per $x \ne 0 $ si può scrivere:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x e^(-nx)/n = x \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^{- x})^n/n $
Posto $y := e^{-x} $ l'ultima scritta è una serie del tipo $\sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) $ per $ - 1\le y < 1 $, pertanto si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x e^(-nx)/n = x \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^{- x})^n/n = - x ln(1 - e^{-x}) $
per $x > 0 $
Grazie
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