Serie di funzioni

[floyd1231]

Ciao a tutti, devo studiare l'insieme di convergenza e la convergenza uniforme della seguente serie di funzioni $ sum_(n=1)^(+infty) ((2x+1)^n)/(3^nlogn) $. Pongo $ z=2x+1 $ e la serie diventa $ sum_(n=1)^(+infty) 1/(3^nlogn) z^n $.
Effettuo il $ lim_(n->+infty) (1/(3^nlogn))^(1/n) $ e il risultato è $ 1/3 $, dunque il raggio di convergenza è $ R=3 $ e la serie converge per $ |2x+1|<3 $, cioè per $ -2

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Risposte

gugo82

1 mag 2018, 09:29

Ad occhio, il consiglio è sempre quello: guarda bene cosa accade nell'estremo inferiore dell'intervallo di convergenza.

Per quanto riguarda la convergenza uniforme, la tua è, alla fine dei conti, una s.d.p.; perciò puoi applicare tutti i risultati classici sulle s.d.p. (e.g., il teorema di Abel, la convergenza uniforme sui compatti, etc...).

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floyd1231

1 mag 2018, 10:25

"gugo82":Ad occhio, il consiglio è sempre quello: guarda bene cosa accade nell'estremo inferiore dell'intervallo di convergenza.

Per quanto riguarda la convergenza uniforme, la tua è, alla fine dei conti, una s.d.p.; perciò puoi applicare tutti i risultati classici sulle s.d.p. (e.g., il teorema di Abel, la convergenza uniforme sui compatti, etc...).

Per quanto riguarda l'estremo inferiore, la serie diventa $ sum_(n=1)^(+infty) (-1)^n/logn $ e dunque non converge, giusto?
Invece, per quanto riguarda la convergenza uniforme, non ho ben compreso: mi basta dire che la serie converge totalmente in ogni compatto contenuto nell'intervallo di convergenza, e dunque la convergenza totale implica la convergenza uniforme?

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pilloeffe

1 mag 2018, 10:50

Ciao floyd123,

Occhio che la serie non può partire da $n = 1 $ (si annulla il denominatore) e la serie

$ sum_(n=2)^(+\infty) (-1)^n/logn < 1 $

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floyd1231

1 mag 2018, 11:26

"pilloeffe":Ciao floyd123,

Occhio che la serie non può partire da $n = 1 $ (si annulla il denominatore) e la serie

$ sum_(n=2)^(+\infty) (-1)^n/logn < 1 $

Grazie pilloeffe! Quindi devo cambiare il "punto" da cui parte la serie? Per il resto, il ragionamento è giusto?

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pilloeffe

1 mag 2018, 11:56

"floyd123":Grazie pilloeffe!

Prego!

"floyd123":Per il resto, il ragionamento è giusto?

Se per il resto intendi

"floyd123":$ sum_(n=2)^(+infty) (-1)^n/logn $ e dunque non converge, giusto?

no, perché, come credevo di averti fatto capire, quella serie converge per il criterio di Leibnitz.

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gugo82

1 mag 2018, 14:12

"floyd123":Per quanto riguarda l'estremo inferiore, la serie diventa $ sum_(n=1)^(+infty) (-1)^n/logn $ e dunque non converge, giusto?

No.

Vatti a rivedere il criterio di Leibniz.

"floyd123":Invece, per quanto riguarda la convergenza uniforme, non ho ben compreso: mi basta dire che la serie converge totalmente in ogni compatto contenuto nell'intervallo di convergenza, e dunque la convergenza totale implica la convergenza uniforme?

Quali teoremi conosci sulla convergenza uniforme delle s.d.p.?

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floyd1231

1 mag 2018, 14:40

Giusto, perdonatemi, converge per Leibniz.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, sono in grado di trovarla solamente mediante la definizione, dunque studiando il sup. Ci sono altri metodi?

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gugo82

1 mag 2018, 15:29

"floyd123":Giusto, perdonatemi, converge per Leibniz.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, sono in grado di trovarla solamente mediante la definizione, dunque studiando il sup. Ci sono altri metodi?

Oltre al classico risultato sulla convergenza totale nell'interno dell'intervallo di convergenza che implica la convergenza uniforme sui compatti contenuti nell'interno di tale intervallo, c'è un simpatico teorema di Abel che dice quanto segue:

Se una s.d.p. converge in $(a,b)$ ed anche in $a$ [risp. in $b$], allora la convergenza è uniforme in tutti gli intervalli del tipo $[a, beta]$ con $a

Quindi, la convergenza di una s.d.p. è uniforme fin dentro gli estremi dell'intervallo di convergenza che appartengono all'insieme di convergenza.

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floyd1231

1 mag 2018, 15:38

Ho capito, grazie mille!

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[gugo82]

Ad occhio, il consiglio è sempre quello: guarda bene cosa accade nell'estremo inferiore dell'intervallo di convergenza.

Per quanto riguarda la convergenza uniforme, la tua è, alla fine dei conti, una s.d.p.; perciò puoi applicare tutti i risultati classici sulle s.d.p. (e.g., il teorema di Abel, la convergenza uniforme sui compatti, etc...).

[floyd1231]

"gugo82":Ad occhio, il consiglio è sempre quello: guarda bene cosa accade nell'estremo inferiore dell'intervallo di convergenza.

Per quanto riguarda la convergenza uniforme, la tua è, alla fine dei conti, una s.d.p.; perciò puoi applicare tutti i risultati classici sulle s.d.p. (e.g., il teorema di Abel, la convergenza uniforme sui compatti, etc...).

Per quanto riguarda l'estremo inferiore, la serie diventa $ sum_(n=1)^(+infty) (-1)^n/logn $ e dunque non converge, giusto?
Invece, per quanto riguarda la convergenza uniforme, non ho ben compreso: mi basta dire che la serie converge totalmente in ogni compatto contenuto nell'intervallo di convergenza, e dunque la convergenza totale implica la convergenza uniforme?

[pilloeffe]

Ciao floyd123,

Occhio che la serie non può partire da $n = 1 $ (si annulla il denominatore) e la serie

$ sum_(n=2)^(+\infty) (-1)^n/logn < 1 $

[floyd1231]

"pilloeffe":Ciao floyd123,

Occhio che la serie non può partire da $n = 1 $ (si annulla il denominatore) e la serie

$ sum_(n=2)^(+\infty) (-1)^n/logn < 1 $

Grazie pilloeffe! Quindi devo cambiare il "punto" da cui parte la serie? Per il resto, il ragionamento è giusto?

[pilloeffe]

"floyd123":Grazie pilloeffe!

Prego!

"floyd123":Per il resto, il ragionamento è giusto?

Se per il resto intendi

"floyd123":$ sum_(n=2)^(+infty) (-1)^n/logn $ e dunque non converge, giusto?

no, perché, come credevo di averti fatto capire, quella serie converge per il criterio di Leibnitz.

[gugo82]

"floyd123":Per quanto riguarda l'estremo inferiore, la serie diventa $ sum_(n=1)^(+infty) (-1)^n/logn $ e dunque non converge, giusto?

No.

Vatti a rivedere il criterio di Leibniz.

"floyd123":Invece, per quanto riguarda la convergenza uniforme, non ho ben compreso: mi basta dire che la serie converge totalmente in ogni compatto contenuto nell'intervallo di convergenza, e dunque la convergenza totale implica la convergenza uniforme?

Quali teoremi conosci sulla convergenza uniforme delle s.d.p.?

[floyd1231]

Giusto, perdonatemi, converge per Leibniz.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, sono in grado di trovarla solamente mediante la definizione, dunque studiando il sup. Ci sono altri metodi?

[gugo82]

"floyd123":Giusto, perdonatemi, converge per Leibniz.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, sono in grado di trovarla solamente mediante la definizione, dunque studiando il sup. Ci sono altri metodi?

Oltre al classico risultato sulla convergenza totale nell'interno dell'intervallo di convergenza che implica la convergenza uniforme sui compatti contenuti nell'interno di tale intervallo, c'è un simpatico teorema di Abel che dice quanto segue:

Se una s.d.p. converge in $(a,b)$ ed anche in $a$ [risp. in $b$], allora la convergenza è uniforme in tutti gli intervalli del tipo $[a, beta]$ con $a

Quindi, la convergenza di una s.d.p. è uniforme fin dentro gli estremi dell'intervallo di convergenza che appartengono all'insieme di convergenza.

[floyd1231]

Ho capito, grazie mille!