Serie di funzioni
Ciao a tutti, ho un esercizio in cui mi si chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie $sum_(n=1)^(+oo)(n-1)/(x+1)^n$. Inoltre, mi si chiede di calcolare $int_(1/3)^2 sum_(n=1)^(+oo)(n-1)/(x+1)^n dx$.
La mia curiosità è: è possibile ricondurla a una serie di potenze? Il fatto che il termine con $x$ sia al denominatore mi disorienta un poco, perché anche sostituendo $t=x+1$ si ha il termine generale in forma $a_nt^-n$.
Considerandola una serie di funzioni generica, la convergenza puntuale si fa comunque velocemente con il criterio del rapporto, con cui si arriva all'insieme di convergenza $E=(0,+oo)$.
Derivando ottengo $f'_n=-(n(n-1))/(x+1)^(n+1)$, che è sempre maggiore di $0$. Quindi $sum_(n=1)^(+oo) lim_(xrarr+oo) (n-1)/(x+1)^n$ converge a zero, e la convergenza totale implica quella uniforme su tutto $E$, ed in particolare anche su $(1/3, 2)$.
Scambiando gli operatori, $int_(1/3)^2 sum_(n=1)^(+oo)(n-1)/(x+1)^n dx=sum_(n=1)^(+oo)int_(1/3)^2(n-1)/(x+1)^n dx=sum_(n=1)^(+oo)-(x+1)^(1-n)$. Tuttavia non trovo un modo per calcolare esplicitamente questa somma. Questo mi porta alla prima domanda: se è possibile ricondursi a una serie di potenze fin dall'inizio è più agevole studiare sia la convergenza sia il valore di quest'ultimo integrale, magari calcolando direttamente la somma.
Cosa mi dite?
La mia curiosità è: è possibile ricondurla a una serie di potenze? Il fatto che il termine con $x$ sia al denominatore mi disorienta un poco, perché anche sostituendo $t=x+1$ si ha il termine generale in forma $a_nt^-n$.
Considerandola una serie di funzioni generica, la convergenza puntuale si fa comunque velocemente con il criterio del rapporto, con cui si arriva all'insieme di convergenza $E=(0,+oo)$.
Derivando ottengo $f'_n=-(n(n-1))/(x+1)^(n+1)$, che è sempre maggiore di $0$. Quindi $sum_(n=1)^(+oo) lim_(xrarr+oo) (n-1)/(x+1)^n$ converge a zero, e la convergenza totale implica quella uniforme su tutto $E$, ed in particolare anche su $(1/3, 2)$.
Scambiando gli operatori, $int_(1/3)^2 sum_(n=1)^(+oo)(n-1)/(x+1)^n dx=sum_(n=1)^(+oo)int_(1/3)^2(n-1)/(x+1)^n dx=sum_(n=1)^(+oo)-(x+1)^(1-n)$. Tuttavia non trovo un modo per calcolare esplicitamente questa somma. Questo mi porta alla prima domanda: se è possibile ricondursi a una serie di potenze fin dall'inizio è più agevole studiare sia la convergenza sia il valore di quest'ultimo integrale, magari calcolando direttamente la somma.
Cosa mi dite?
Risposte
Poni $t(x)=1/(x+1)$ considerata per $x in(-1,+infty)$ è una biiezione quindi puoi vederla come serie di potenze considerando che $t(x) in(0,+infty),forall x in(-1,+infty)$
Ciao Gustav Wittgenstein,
La risposta a questa domanda è affermativa. Infatti, facendo buon uso della posizione che ti ha già consigliato anto_zoolander, si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} (n-1)/(x+1)^n = sum_{n = 1}^{+\infty} (n-1)t^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n t^n - sum_{n = 1}^{+\infty} t^n = t sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n - 1} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) $
Se $|t| = |frac{1}{x + 1}| < 1 $ le serie scritte convergono e si ha:
$ t sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n - 1} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) = frac{t}{(1 - t)^2} - frac{1}{(1 - t)} + 1 = frac{t - 1 + t + 1 - 2t + t^2}{(1 - t)^2} = frac{t^2}{(1 - t)^2} = $
$ = frac{frac{1}{(x + 1)^2}}{(1 - frac{1}{x + 1})^2} = 1/x^2 $
Perciò in definitiva si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n-1)/(x+1)^n = 1/x^2 $
se $ |x + 1 | > 1 $
"Gustav Wittgenstein":
Questo mi porta alla prima domanda: se è possibile ricondursi a una serie di potenze fin dall'inizio è più agevole studiare sia la convergenza sia il valore di quest'ultimo integrale, magari calcolando direttamente la somma.
La risposta a questa domanda è affermativa. Infatti, facendo buon uso della posizione che ti ha già consigliato anto_zoolander, si ha:
$sum_{n = 1}^{+\infty} (n-1)/(x+1)^n = sum_{n = 1}^{+\infty} (n-1)t^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n t^n - sum_{n = 1}^{+\infty} t^n = t sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n - 1} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) $
Se $|t| = |frac{1}{x + 1}| < 1 $ le serie scritte convergono e si ha:
$ t sum_{n = 1}^{+\infty} n t^{n - 1} - (sum_{n = 0}^{+\infty} t^n - 1) = frac{t}{(1 - t)^2} - frac{1}{(1 - t)} + 1 = frac{t - 1 + t + 1 - 2t + t^2}{(1 - t)^2} = frac{t^2}{(1 - t)^2} = $
$ = frac{frac{1}{(x + 1)^2}}{(1 - frac{1}{x + 1})^2} = 1/x^2 $
Perciò in definitiva si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n-1)/(x+1)^n = 1/x^2 $
se $ |x + 1 | > 1 $
Grazie ad entrambi! In effetti doveva venirmi il sospetto che bastasse invertire per levarmi quel $t^-n$ 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo