Serie di funzioni

[Daddarius1]

Pongo $e^n= t$ per farla diventare una serie di potenze e studiare il termine generale con uno dei criteri

Se uso il criterio della radice $lim_(n->+oo) (|(n+ sqrt(n))/(2n^2 - 2)|)^(1/n)$ il limite fa 1 e quindì il raggio di convergenza è 1.
Giusto?

Per la convergenza totale ho pensato di maggiorare così :

$|(n+ sqrt(n))/(2n^2 - 2)| <= |(n)/(2n^2)| <= |1/(2n)|$ che diverge e non ho convergenza totale.

[ciampax]

Se maggiori, non hai dimostrato niente. Dovresti minorare...
E comunque la maggiorazione che hai scritto è falsa.

[Daddarius1]

"ciampax":Se maggiori, non hai dimostrato niente. Dovresti minorare...
E comunque la maggiorazione che hai scritto è falsa.

Ah. Un indizio?

[ciampax]

.....devi mettere le disuguaglianza al contrario...
Secondo de te quale di queste due è corretta
$$1)\ n+\sqrt{n} < n,\qquad 2)\ n+\sqrt{n}>n$$
E quale di queste altre due
$$3)\ \frac{1}{2n^2-2}>\frac{1}{2n^2},\qquad 4)\ \frac{1}{2n^2-2}<\frac{1}{2n^2}$$

[Daddarius1]

"ciampax":.....devi mettere le disuguaglianza al contrario...
Secondo de te quale di queste due è corretta
$$1)\ n+\sqrt{n} < n,\qquad 2)\ n+\sqrt{n}>2$$
E quale di queste altre due
$$3)\ \frac{1}{2n^2-2}>\frac{1}{2n^2},\qquad 4)\ \frac{1}{2n^2-2}<\frac{1}{2n^2}$$

Allora devo minorare così $|2/(2n^2)|>= |1/(n^2)|$ che è una serie convergente! Quindì la mia serie di potenze converge totalmente.

[ciampax]

Errore mio, ci andava una $n$ e non il $2$.
Per cui hai minorato con $1/{2n}$.
Tuttavia la convergenza totale prevede di maggiorare la successione di funzioni con una successione numerica la cui serie converge. Che fine fai fare all'esponenziale?
Tra l'altro, come dicevi all'inizio, la serie risulta una serie di potenze del tipo $\sum_{n=2}^\infty a_n t^n$ con $a_n={n+\sqrt{n}}/{2n^2-2}$ e $t=e^x$. Perché non sfruttare questo fatto (cioè calcolare il raggio di convergenza)?

[Daddarius1]

"ciampax":Errore mio, ci andava una $n$ e non il $2$.
Per cui hai minorato con $1/{2n}$.
Tuttavia la convergenza totale prevede di maggiorare la successione di funzioni con una successione numerica la cui serie converge. Che fine fai fare all'esponenziale?
Tra l'altro, come dicevi all'inizio, la serie risulta una serie di potenze del tipo $\sum_{n=2}^\infty a_n t^n$ con $a_n={n+\sqrt{n}}/{2n^2-2}$ e $t=e^x$. Perché non sfruttare questo fatto (cioè calcolare il raggio di convergenza)?

Lo ho calcolato con il criterio della radice, viene 1

[ciampax]

Ok,e quindi? Per quali $t$ converge? E quindi per quali $x$? E quindi quando hai convergenza uniforme? E cosa puoi dire allora della convergenza totale?