Serie di funzioni

[parlatodavide]

Ciao ragazzi,sto studiando le serie di funzioni e ho un po' di confusione sui vari tipi di convergenza. So che la convergenza totale implica quella uniforme che a sua volta implica quella puntuale (o semplice). Inoltre so che la convergenza assoluta implica quella puntuale.In genere se una serie converge assolutamente o puntualmente in un intervallo del tipo $ ( 0,+infty) $ allora so che converge puntualmente e totalmente in ogni chiuso e limitato del tipo $ [a,b] sub (0,+infty) $ . Giusto?
Volendone affrontare un aspetto più pratico sto cercando di risolvere un esercizio. Mi chiede di studiare i vari tipi di convergenza di questa serie:
$ sum_(n = 0)^(n=+infty) (3^n+(-1)^n)/(2^n+4^n)(1-lnx)^n $
Potete aiutarmi a risolverla?

[billyballo2123]

"davidassalt":In genere se una serie converge assolutamente o puntualmente in un intervallo del tipo $ ( 0,+infty) $ allora so che converge puntualmente e totalmente in ogni chiuso e limitato del tipo $ [a,b] sub (0,+infty) $ . Giusto?

Uhm... no!
Se converge puntualmente su $(0,+\infty)$ non è detto che converga totalmente su ogni chiuso limitato contenuto in $(0,+\infty)$.
Ad esempio la successione di funzioni
\[
f_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{se } x\in (0,+\infty)-(1-1/n,1+1/n) \\
nx-n+1 & \text{se } x\in (1-1/n,1) \\
-nx+n+1 & \text{se } x\in (1+1/n,1)
\end{array}
\right.
\]
converge puntualmente su $(0,+\infty)$, ma la convergenza non è totale su qualunque chiuso limitato che contenga $1$.

Raccogliendo a numeratore $3^n$ e a denominatore $4^n$, appare evidente che tutto il termine generale della serie è asintotico a
\[
\bigg[\frac{3}{4}(1-\ln x)\bigg]^n
\]
che è in pratica una serie geometrica di ragione $\frac{3}{4}(1-\ln x)$.

[parlatodavide]

Ok allora ho bosogno di un ripasso della convergenza totale.
Per quanto riguarda la serie puoi essere più preciso,magari svolgendola?

[billyballo2123]

\[
\frac{3^n+(-1)^n}{2^n+4^n}(1-\ln x)^n=\frac{3^n\Big[1+\Big(-\frac{1}{3}\Big)^n\Big]}{4^n\Big[1+\Big(\frac{1}{2}\Big)^n\Big]}(1-\ln x)^n
\sim\frac{3^n}{4^n}(1-\ln x)^n=\bigg[\frac{3}{4}(1-\ln x)\bigg]^n.
\]
Dato che
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}q^n
\]
converge se e solo se $|q|<1$, devi trovare gli $x$ tali per cui
\[
\bigg|\frac{3}{4}(1-\ln x)\bigg|<1.
\]