Serie di funzioni
Salve a tutti. Ho la serie di funzioni seguente di cui devo studiare convergenza puntuale e totale:
$\sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n$
Ho posto (1+lnx)=y e mi sono ricondotto a una serie di potenza.
Ho applicato D'Alembert e ho trovato raggio di convergenza pari a 2. La serie converge assolutamente se |y|<2 quindi se |1+lnx|<2 ovvero -2<1+lnx<2 da cui ho trovato che $e^-3$
$\sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-2)^n$
Come posso procedere? Grazie.
$\sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n$
Ho posto (1+lnx)=y e mi sono ricondotto a una serie di potenza.
Ho applicato D'Alembert e ho trovato raggio di convergenza pari a 2. La serie converge assolutamente se |y|<2 quindi se |1+lnx|<2 ovvero -2<1+lnx<2 da cui ho trovato che $e^-3$
$\sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-2)^n$
Come posso procedere? Grazie.
Risposte
Proverei a usare il criterio di Leibniz
Grazie per la risposta. Ci ho provato ma non capisco come trattare quel (-1)^n. Passando ai valori assoluti, dal momento che n è positivo (non so se sia giusto), la serie diventa:
$\sum_{n=0}^infty ((2^n)*(2^n+1))/(3^n+4^n)$
oppure il (-1)^n sommato rimane?
Non riesco a rendermi conto di questa cosa. Nel caso scritto sopra mi trovo che la serie per Leibniz diverge.
Grazie.
$\sum_{n=0}^infty ((2^n)*(2^n+1))/(3^n+4^n)$
oppure il (-1)^n sommato rimane?
Non riesco a rendermi conto di questa cosa. Nel caso scritto sopra mi trovo che la serie per Leibniz diverge.
Grazie.
Forse puoi dividere in due serie e studiarle separatamente:
$ \sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n = \sum_{n=0}^infty (2^n/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n + \sum_{n=0}^infty ((-1)^n/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n$
La serie a sinistra a sinistra diventa una serie di potenze, come hai detto tu, della quale trovi il raggio di convergenza con uno dei due criteri appositi, mentre quella a destra si può studiare come serie di Leibnitz: però devi fare considerazioni su quali $x in RR$ permettono la convergenza.
$ \sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n = \sum_{n=0}^infty (2^n/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n + \sum_{n=0}^infty ((-1)^n/(3^n+4^n))*(1+lnx)^n$
La serie a sinistra a sinistra diventa una serie di potenze, come hai detto tu, della quale trovi il raggio di convergenza con uno dei due criteri appositi, mentre quella a destra si può studiare come serie di Leibnitz: però devi fare considerazioni su quali $x in RR$ permettono la convergenza.
Premetto che non ho letto i passaggi che ti hanno fatto arrivare a quella serie.
$ \sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-2)^n = \sum_{n=0}^infty 2^n((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-1)^n$
Ora controlla che gli
$a_n=2^n((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*$ verifichino le ipotesi del criterio di Leibniz definitivamente (Forse pero' a gardarlo bene direi di no,non avevo considerato quel $2^n$ iniziale che da dei problemi)
Prova a calcolare
$\lim_n |((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-2)^n |$
e direi che puoi concludere subito.
$ \sum_{n=0}^infty ((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-2)^n = \sum_{n=0}^infty 2^n((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-1)^n$
Ora controlla che gli
$a_n=2^n((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*$ verifichino le ipotesi del criterio di Leibniz definitivamente (Forse pero' a gardarlo bene direi di no,non avevo considerato quel $2^n$ iniziale che da dei problemi)
Prova a calcolare
$\lim_n |((2^n+(-1)^n)/(3^n+4^n))*(-2)^n |$
e direi che puoi concludere subito.
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