Serie di funzioni
Determinare il più grande insieme di convergenza puntuale per la serie di funzioni
$ \sum_{n = 1 \mapsto \infty \ldots} $ $ (1-e^(-n^2 x^2))^n $
Devo poi stabilire se la serie converge uniformemente
Non ho idea di come partire, visto che il criterio dellaradice mi da come limite 1, il criterio del rapporto non conviene.
$ \sum_{n = 1 \mapsto \infty \ldots} $ $ (1-e^(-n^2 x^2))^n $
Devo poi stabilire se la serie converge uniformemente
Non ho idea di come partire, visto che il criterio dellaradice mi da come limite 1, il criterio del rapporto non conviene.
Risposte
io porrei $ 1-e^(-n^2x^2)=z $ e risolverei il tutto come una serie di potenze il cui raggio è 1. quindi si tratta di risolvere la disequazione $ |1-e^(-n^2x^2)|<1 $ e per il teorema deduci la convergenza uniforme.
ok la convergenza puntuale ce l'ho per ogni x diverso da zero. Ma la convergenza uniforme non mi è chiara, perchè applicando la definizione mi viene che non converge uniformemente. Tu a che teorema ti riferisci?
nelle serie di potenze se R è il raggio di convergenza abbiamo che:
se R=0 allora la serie converge sse x=0
se R è un numero finito (escluso lo zero che è il caso precedente), la serie converge assolutamente e puntualmente in insiemi del tipo (-R,R) (estremi da verificare). non converge se |x|>r. converge poi uniformemente su ogni compatto [-M,M] tc 0
se R=0 allora la serie converge sse x=0
se R è un numero finito (escluso lo zero che è il caso precedente), la serie converge assolutamente e puntualmente in insiemi del tipo (-R,R) (estremi da verificare). non converge se |x|>r. converge poi uniformemente su ogni compatto [-M,M] tc 0
Si allora quello lo conosco, ma non risolve il mio problema.
Abbiamo detto che l'insieme in cui la setie converge puntualmente è dato dagli x che risolvono $ |1-e^(-n^2 x^2)| < 1 $ cioè tutto $ R $ tranne $ x=0 $.Sostituisco X=0 viene la serie nulla e quindi converge anche in x=0.
Ma questo non è il risultato giusto dell'esercizio
Abbiamo detto che l'insieme in cui la setie converge puntualmente è dato dagli x che risolvono $ |1-e^(-n^2 x^2)| < 1 $ cioè tutto $ R $ tranne $ x=0 $.Sostituisco X=0 viene la serie nulla e quindi converge anche in x=0.
Ma questo non è il risultato giusto dell'esercizio
Ragazzi a me sembra che in questo contesto una posizione si può fare di certo,a patto che sia del tipo $"t=f(x)"$ e non $"t"_"n"=f(x,n)"$:
d'altronde,e mi riferisco in particolare all'op in merito ad un altro post d oggi nel quale aveva dato un'interpretazione buona che però non è stata colta in pieno da hero94 perché quest'ultimo è rimasto rigido sulle serie di potenze,mi pare che,se leggo bene,ci sia un solo valore di x che rende infinitesimo il termine generale della serie di funzioni (altrimenti tutte a valori positivi..)in parola.
Saluti dal web.
d'altronde,e mi riferisco in particolare all'op in merito ad un altro post d oggi nel quale aveva dato un'interpretazione buona che però non è stata colta in pieno da hero94 perché quest'ultimo è rimasto rigido sulle serie di potenze,mi pare che,se leggo bene,ci sia un solo valore di x che rende infinitesimo il termine generale della serie di funzioni (altrimenti tutte a valori positivi..)in parola.
Saluti dal web.
Non ho capito
Se ho fatto bene i conti,si ha che $EE"lim"_{"n"to +oo}"(1-e"^{"-n"^"2""x"^"2"}")"^"n""=1"ne"0"" "forall "x"in RR"-{0}"$:
vedi tu cosa puoi dedurne.
Saluti dal web.
vedi tu cosa puoi dedurne.
Saluti dal web.
Ok, quindi è bastato verificare la condizione necessaria per la convergenza per capire che la serie converge puntualmente solo per x=0. Inoltre ho anche la convergenza uniforme per x=0.
Io per calcolare il limite ho fatto $ e^(n * ln(...)) $ e poi ho sviluppato il logaritmo. Te come l'hai calcolato?
Io per calcolare il limite ho fatto $ e^(n * ln(...)) $ e poi ho sviluppato il logaritmo. Te come l'hai calcolato?
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