Serie di Funzioni
Salve a tutti, dovrei svolgere questa serie di funzioni:
Con $x\in R$, determinare l'insieme di convergenza e la somma della serie
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(1-2x)^n}{n+1} \)
Per l'insieme di convergenza (assoluta o vuole altro?) ho semplicemente sostituito $t=1-2x$ e ho svolto i conti regolarmente, verificando che la serie converge assolutamente in $x \in ]0,1]$. Basta così per l'insieme di convergenza? Per la somma invece? Come devo procedere? E' la prima volta che mi chiede di calcolare la somma di una serie di potenze
Con $x\in R$, determinare l'insieme di convergenza e la somma della serie
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(1-2x)^n}{n+1} \)
Per l'insieme di convergenza (assoluta o vuole altro?) ho semplicemente sostituito $t=1-2x$ e ho svolto i conti regolarmente, verificando che la serie converge assolutamente in $x \in ]0,1]$. Basta così per l'insieme di convergenza? Per la somma invece? Come devo procedere? E' la prima volta che mi chiede di calcolare la somma di una serie di potenze
Risposte
$\sum frac {1}{n+1}*y^n $, dove $y=1-2x $
Applico il criterio del rapporto:
$|a_{n+1}/a_n|=frac {n+1}{n+2} to 1$
Verifico a mano che converge in -1 ma non in 1
Converge allora assolutamente per $-1 <=y <1$ cioè $-1 <=1-2x <1$
Quindi per $0 <=x <1$
La convergenza è totale (quindi uniforme ) nei compatti contenuti in [0,1)
Per la somma puoi fare così :
$\sum frac {y^n}{n+1}=1/y*\sum_0^{infty} frac {y^{n+1}}{n+1} =1/y*\sum_1^{infty} frac {y^n}{n}=... $
Applico il criterio del rapporto:
$|a_{n+1}/a_n|=frac {n+1}{n+2} to 1$
Verifico a mano che converge in -1 ma non in 1
Converge allora assolutamente per $-1 <=y <1$ cioè $-1 <=1-2x <1$
Quindi per $0 <=x <1$
La convergenza è totale (quindi uniforme ) nei compatti contenuti in [0,1)
Per la somma puoi fare così :
$\sum frac {y^n}{n+1}=1/y*\sum_0^{infty} frac {y^{n+1}}{n+1} =1/y*\sum_1^{infty} frac {y^n}{n}=... $
"kobeilprofeta":
$\sum frac {1}{n+1}*y^n $, dove $y=1-2x $
Applico il criterio del rapporto:
$|a_{n+1}/a_n|=frac {n+1}{n+2} to 1$
Verifico a mano che converge in -1 ma non in 1
Converge allora assolutamente per $-1 <=y <1$ cioè $-1 <=1-2x <1$
Quindi per $0 <=x <1$
La convergenza è totale (quindi uniforme ) nei compatti contenuti in [0,1)
Per la somma puoi fare così :
$\sum frac {y^n}{n+1}=1/y*\sum_0^{infty} frac {y^{n+1}}{n+1} =1/y*\sum_1^{infty} frac {y^n}{n}=... $
Puoi continuare la somma? Non riesco a svolgerla. Inoltre non ho capito questo passaggio $1/y*\sum_0^{infty} frac {y^{n+1}}{n+1} =1/y*\sum_1^{infty} frac {y^n}{n}$
Ciao
ho saltato un passaggio
formalmente sarebbe
$1/y*\sum_0^{infty} frac{y^{n+1}}{n+1}$
sostituzione $m=n+1$ : indici della sommatoria: $n=0 => m=0+1=1$, $n=\infty => m=\infty+1=\infty$
la somma diventa $1/y*\sum_{m=0}^{infty} frac{y^{m}}{m}$
poi la $m$ la chiamo $n$
se vuoi fare più veloce ricorda questo:
se aumento sui pedici, diminuisco dentro la sommatoria, e viceversa
ho saltato un passaggio
formalmente sarebbe
$1/y*\sum_0^{infty} frac{y^{n+1}}{n+1}$
sostituzione $m=n+1$ : indici della sommatoria: $n=0 => m=0+1=1$, $n=\infty => m=\infty+1=\infty$
la somma diventa $1/y*\sum_{m=0}^{infty} frac{y^{m}}{m}$
poi la $m$ la chiamo $n$
se vuoi fare più veloce ricorda questo:
se aumento sui pedici, diminuisco dentro la sommatoria, e viceversa
Poi sai che $\sum_1^{infty} y^n/n=-log(1-y)$ poi sostituisci la y in funzione di x
di più non sto a dirti, prova a fare un po' tu
di più non sto a dirti, prova a fare un po' tu
La somma è $-1/t* ln(1-t)=-1/(1-2x)*ln(2x)$
Mi confermi sia giusto?
Mi confermi sia giusto?
Yap
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo