Serie di funzioni
Ho appena finito di studiare la parte sulle successioni e serie di funzioni, quindi per esercitarmi ho preso dalle prove d'esame scorse del mio professore due esercizi. Ma non riesco a capire come risolvere nessuno dei due, qualcuno mi darebbe una mano?
$ int_(0)^(pi) e^(-sin x) dx $
Sviluppo la funzione in serie di Taylor, posso scambiare integrale e serie e ottengo:
$ sum_(n = 0)^(oo) (-1)^n/(n!)*int_(0)^(pi) (sin^n x) dx $
Ma come integro quel seno?
$ sum_(n = 1)^oo \frac{2^n+4^n}{3^n*n}*e^(nx) $
Credo che per $x\inR$ non sia risolvibile, se prendo A>0, in $(-oo,A]$ ho che la successione è limitata superiormente da $\frac{2^n+4^n}{3^n*n}*e^(nA)$ che dovrebbe convergere se A
$ int_(0)^(pi) e^(-sin x) dx $
Sviluppo la funzione in serie di Taylor, posso scambiare integrale e serie e ottengo:
$ sum_(n = 0)^(oo) (-1)^n/(n!)*int_(0)^(pi) (sin^n x) dx $
Ma come integro quel seno?
$ sum_(n = 1)^oo \frac{2^n+4^n}{3^n*n}*e^(nx) $
Credo che per $x\inR$ non sia risolvibile, se prendo A>0, in $(-oo,A]$ ho che la successione è limitata superiormente da $\frac{2^n+4^n}{3^n*n}*e^(nA)$ che dovrebbe convergere se A
Risposte
Proprio nessuno?
per il primo prova a sviluppare anche (sin(x)) ^n in serie cosi hai solo polinomi da integrare.
Per il secondo mi sembra che tu sia sulla strada giusta 
Puoi vederlo scrivendo
\[
\frac{4^n}{3^n} = e^{n \ln \frac{4}{3}}
\]
e poi portando tutto dentro lo stesso esponenziale.
Il valore soglia è accettabile o no?
Puoi vederlo scrivendo
\[
\frac{4^n}{3^n} = e^{n \ln \frac{4}{3}}
\]
e poi portando tutto dentro lo stesso esponenziale.
Il valore soglia è accettabile o no?
Allora per l'integrale, sono riuscito a risolvere per ricorrenza trovando che
$ I_n=int_(0)^(pi) sin^nx dx=(n-1)/n*I_(n-2) $
$ I_0=pi $
$ I_1=2$
A questo punto posso vedere che la serie:
$ sum_(n = 0)^oo(-1)^n/(n!)*I_n $
è a segno alterno e converge per Leibnitz. Posso quindi stimare l'errore, e riesco anche a trovare un valore per l'integrale iniziale. Il problema è nel dimostrare che $a_n=I_n/(n!)$ sia decrescente. Che sia positiva è evidente. Per il fatto di essere infinitesima credo di poter porre:
$-pi<=I_n<=pi$
quindi
$(-pi)/(n!)<=I_n/(n!)<=pi/(n!)$
Per i carabinieri quindi $a_n$ tende a 0. Ma la decrescenza? Riesco a vederla intuitivamente, ma come la dimostro?
$ I_n=int_(0)^(pi) sin^nx dx=(n-1)/n*I_(n-2) $
$ I_0=pi $
$ I_1=2$
A questo punto posso vedere che la serie:
$ sum_(n = 0)^oo(-1)^n/(n!)*I_n $
è a segno alterno e converge per Leibnitz. Posso quindi stimare l'errore, e riesco anche a trovare un valore per l'integrale iniziale. Il problema è nel dimostrare che $a_n=I_n/(n!)$ sia decrescente. Che sia positiva è evidente. Per il fatto di essere infinitesima credo di poter porre:
$-pi<=I_n<=pi$
quindi
$(-pi)/(n!)<=I_n/(n!)<=pi/(n!)$
Per i carabinieri quindi $a_n$ tende a 0. Ma la decrescenza? Riesco a vederla intuitivamente, ma come la dimostro?
Non so se conosci questa disuguaglianza, ma
\[
I_n = \int_0^\pi \sin^n x \ dx = \int_0^\pi \sin x \sin^{n-1} x \ dx \le \left| \max_{[0,\pi]} \sin x \right| \left| \int_0^\pi \sin^{n-1} x \ dx \right| \le |I_{n-1}|
\]
e questo dovrebbe bastare, se la serie è positiva.
\[
I_n = \int_0^\pi \sin^n x \ dx = \int_0^\pi \sin x \sin^{n-1} x \ dx \le \left| \max_{[0,\pi]} \sin x \right| \left| \int_0^\pi \sin^{n-1} x \ dx \right| \le |I_{n-1}|
\]
e questo dovrebbe bastare, se la serie è positiva.
"Raptorista":
Non so se conosci questa disuguaglianza, ma
\[ I_n = \int_0^\pi \sin^n x \ dx = \int_0^\pi \sin x \sin^{n-1} x \ dx \le \left| \max_{[0,\pi]} \sin x \right| \left| \int_0^\pi \sin^{n-1} x \ dx \right| \le |I_{n-1}| \]
e questo dovrebbe bastare, se la serie è positiva.
No, non la conosco, come funziona in generale?
Dunque, nel modo in cui l'ho usata io si chiama Disuguaglianza di Hölder, però puoi arrivarci anche applicando il teorema della media ponderata, quello
\[
\int_a^b f(x) g(x) \ dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \ dx, \quad \xi \in [a,b]
\]
e poi maggiorando \(f(\xi)\) con il massimo.
È lo stesso se prima maggiori il seno dentro l'integrale e poi tiri fuori il massimo, insomma quello è il trucco.
\[
\int_a^b f(x) g(x) \ dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \ dx, \quad \xi \in [a,b]
\]
e poi maggiorando \(f(\xi)\) con il massimo.
È lo stesso se prima maggiori il seno dentro l'integrale e poi tiri fuori il massimo, insomma quello è il trucco.
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