Serie di funzioni

[dragonspirit1]

sal ve a tutti mi ritrovo a dover studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie ma ho alcuni dubbi sul criterio dell'ordine di ininito $ f_n(x)= (xsqrtn)/(nsqrtn +x^2 $
se applico il criterio dell'ordine di infinitesimo devo tener conto dell'esponente della x o no?

[Quinzio]

Intanto è una successione, non una serie.
Poi, con $n->+oo$, hai che $n\sqrtn+x^2 ~~ n\sqrtn $, quindi il tutto si riduce a $(x\sqrtn)/(n\sqrtn)=x/n$ e allora $lim_(n->+oo) f_n(x) = 0$.
Non so onestamente a cosa serve calcolare degli ordini di infinitesimo (di cosa, poi ?).

[dragonspirit1]

quindi la successione converge puntualmente su tutto R ?

[dragonspirit1]

da quello che sembra allora la successione non convergerebbe in maniera uniforme poichè $ epsi $ dipenderebbe da x/n eppure nell'esercizio si richiede di dimostrare la convergenza uniforme

[gugo82]

L'esercizio è piuttosto standard e si svolge in maniera veloce.

Innanzitutto, qual è il limite puntuale della tua successione?
Detta \(f(x)\) la funzione limite, per stabilire se la convergenza è uniforme ti basta determinare esplicitamente la quantità:
\[
M_n := \sup_{x\in \mathbb{R}} \left| f_n(x) - f(x)\right|
\]
e mostrare che \(\lim_n M_n =0\).
Per determinare \(M_n\) basta fare uno studio della monotonia della funzione \(|f_n(x) - f(x)|\).
Prova.

[dragonspirit1]

apunto quello che stavo facendo ma la funzione limite è f(x) =0 quindi $ M := | (xsqrtn)/(nsqrtn +x^2) |

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[ciampax]

Dici? A me non sembra. Hai provato a cercare il massimo della funzione in valore assoluto?

[gugo82]

Le maggiorazioni, quando non sono precise (e la tua non lo è, perché stai maggiorando il deficit \(|f_n(x) - f(x)|\) con una funzione che è sempre ben distante dal deficit -tranne in \(0\), ma capirai...-), non servono quasi a nulla.

Ribadisco:

"gugo82":Per determinare \(M_n\) basta fare uno studio della monotonia della funzione \(|f_n(x) - f(x)|\).
Prova.

[dragonspirit1]

il massimo si trova per $ x=nsqrtn $ e il valore della funzione è $ f(x)=(nsqrtn*sqrtn)/(nsqrtn + (nsqrtn)^2) = n/(sqrtn +n^2) $
questo tipo di studio lo facevamo sulle serie e a questo punto si valutava la convergenza o meno della serie in n ma questa non è una serie quindi sono abbastanza confuso

[gugo82]

Cosa c'è da essere confuso?
Stai cercando di applicare la definizione di convergenza uniforme alla successione assegnata... La conosci la definizione di convergenza uniforme, vero?

[dragonspirit1]

si la successione è convergente uniformemente se l'errore è solo funzione di n detta in maniera poco formale.......sono io che faccio confusione con le serie l'n-test di weierstrass....

[gugo82]

"dragonspirit":si la successione è convergente uniformemente se l'errore è solo funzione di n detta in maniera poco formale...

Non ti basta!
L'errore massimo deve essere una successione infinitesima.

[dragonspirit1]

ma quello è l'm-test di weierstrass!!! qui abbiamo applicato la definizione quindi voglio soltatnto che l'errore sia funzione di n giusto?

[gugo82]

"dragonspirit":ma quello è l'm-test di weierstrass!!!

A quale test ti riferisici?

"dragonspirit":qui abbiamo applicato la definizione quindi voglio soltatnto che l'errore sia funzione di n giusto?

No.
La definizione di convergenza uniforme è la seguente:

Si ha \(f_n \stackrel{U}{\to} f\) in \(X\) se e solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ \sup_{x\in X} \left| f_n(x) - f(x)\right|<\varepsilon
\]

ed essa equivale a dire che la successione degli estremi superiori dell'errore, i.e. quella di termine generale \(M_n := \sup_{x\in X} \left| f_n(x) - f(x)\right|\), è infinitesima, i.e. \(\lim_n M_n=0\).

Il criterio di Weierstrass per la convergenza totale delle serie, invece, è il seguente:

La serie \(\sum f_n(x)\) converge totalmente in \(X\) se e solo se è convergente la serie numerica \(\sum M_n\), in cui:
\[
M_n := \sup_{x\in X} \left| f_n(x)\right|\; .
\]

ed è cosa diversa dalla condizione per la convergenza uniforme di cui sopra.

Inoltre, nota che, anche nelle loro somiglianze, la richiesta sulla successione \(M_n\) è più forte nel criterio di Weierstrass che nella definizione di convergenza uniforme per successioni: infatti, la condizione \(\sum M_n \text{ converge}\) è più forte di \(\lim_n M_n= 0\), perché ad esempio si ha \(1/n \to 0\) ma la serie \(\sum 1/n\) diverge.

[dragonspirit1]

quindi voglio che l'errore sia infinitesimo.....si giusto ora mi ricordo e ha anche senso........