Serie di funzioni

[pietrucciA]

Salve, la serie è l seguente \[\sum_{n=1}^{infinito }\frac {x}{n}{ e}^{-nx}\]
Premetto che sono una frana con le serie quindi se i miei tentativi di risolvere tale serie sono da completa scema non vi arrabbiate xD cmq ho tentati di vedere la serie come \[\sum_{n=1}^{infinito}\frac{x}{ne^{nx}}\] e ho pensato di porre e^x=z in maniera tale da avere la serie \[\sum_{n=1}^{infinito}\frac {x}{nz^n}\]. Ora ho pensato di poterla maggiorare con 1/z^n
Quindi ho scritto \[\frac {1}{nz^n}\leq\frac {1}{z^n}\] e ho detto quest*ultima serie è la geometrica che converge solo se |1/z|<1e cioe |z|> 1 e ora qui dv risostituire e scrivere e^x> 1 che è vera per ogni x> 0. Di conseguenza la mia serie converge puntuslmene da (0,+infinito).ditemi cosa ho sbagliato e se il mio tentativo va bene o no, grazie

[Antimius]

"dolla":se i miei tentativi di risolvere tale serie sono da completa scema non vi arrabbiate xD

Non flagellarti prima di aver sbagliato
Scherzi a parte, quello che hai fatto è corretto. La tua conclusione si ottiene usando il criterio del confronto, avendo cura di notare che la serie è a termini non negativi per $x>0$ (non dimenticartelo mai, altrimenti potresti far convergere serie che invece non convergono )
Sai dire invece che succede per $x \leq 0$ e perché?

[pietrucciA]

Ok:D allora io direi che per x=0 converge perche la serie diventa \[\sum_{n=1}^{infinito} 0\] cioè sommo infinite volte zero. Per x <0 non converge perché se vado a sostituire alla condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza una x <0 il limite per n---> infinito mi viene uguale a infinito e non zero.quindi se la condizione non è soddisfatta la serie non puo convergere.corretto?

[Antimius]

Giusto. E puoi dire di più: se la serie non converge, essendo a termini di segno costante, diverge.
P.s.: Per il simbolo di infinito puoi usare

\infty

[pietrucciA]

Grazie per la disponibilità:) alla prossima:)

[Antimius]

Prego!