Serie di funzioni

[mancamirko89]

Salve a tutti ragazzi!
Ho il seguente problema:
Verificare la convergenza semplice della seguente serie di funzioni: $ Sigma (e^(-nx)-e^(-x(n+1)))$ per n=1-->infinito...Studio direttamente la convergena assoluta che implica quella semplice. La mia idea è quella di vedere cosa succede considerando la convergenza dell'argomento prima per valori di $x>0$, poi per $x<0$. E' giusto come primo passo? grazie per ogni eventuale risposta!

[mancamirko89]

Aggiungo che dopo qualchee passaggio di semplificazione ottengo la serie $Sigma(e^(-nx)*(e^x -1)/e)$. Il termine a destra del per lo posso portare fuori dal segno di sommatoria, dunque mi posso semlicemente calcolare la convergenza puntuale della serie di potenze $Sigma(e^-(nx))$?

[MasterCud]

mi sembra un pò un pasticcio quello che hai scritto, prima di tutto ti studi la convergenza semplice, la serie è telescopica in [0,1] (ma poco importa) e la somma è data (risparmiami i passaggi):
$ S_n(x)=e^-x-e^(-x*(n+1)) $

adesso per la convergenza semplice verifica che la somma sia continua nell'intervallo il che significa:
$ lim_(n -> infty) S_n(x) $ , in altri termini se fissi x più e più volte e fai andare n a infinito otterrai sempre:1/e^x,quindi direi proprio che la somma è continua e converge semplicemente in [1,inf) il che implica che la serie potrebbe convergere uniformemente. A questo punto utilizza cauchy per verificare la convergenza uniforme, e quindi avrai:
$ |f_(n)(x)-f(x)| $ |e^-x-e^(-x(n+1))-e^-x| $ sumintf_n(x)=intsumf_n(x) $

[MasterCud]

il discorso della convergenza semplice lo ripropongo in quanto mi sembra scritto un pò da cani:
$ lim_(n -> infty)S_n(x){ ( x=1==>l=1/e ),( x in[1,infty)==>l=1/e^x ),( x=infty==>l=0 ):} $
da cui deduco che la somma è continua in $ x in[1,infty) $

[mancamirko89]

ok grazie, devo andare a studiarmi le serie telescopiche!

[MasterCud]

no questa è geometrica e converge in $ 1/e

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[mancamirko89]

Ritorno al primo esercizio perche non mi è ben chiara una cosa, perche la serie è telescopica solo in [0,1]?

[MasterCud]

da come l'ho scritto sembra che lo sia solo in [0,1], è telescopica punto!! senza se senza ma, guardati la serie di mengoli per curiosità...dovresti riuscire a coglierne l'essenza.