Serie di funzioni

[ride2]

vorrei sapere se questo esercizio è risolto correttamente.
ho la seguente serie
$\sum_{n=2}^oo x^n/(n^2-x/n)$
devo verificare se converge su qualche intervallo, e se vi converge puntualmente e uniformemente.
io ho ragionato in questo modo:
ho fatto il limite per $n->+oo$ di $x^n/(n^2-x/n)$ ottenendo che la successione tende a $x^n$. ciò vuol dire che per $0<=x<1$ tende a zero, per $x=1$ tende a 1 mentre per $x>1$ tende a $+oo$. dunque la convergenza può esserci solo nell'intervallo $[0,1)$ perchè la successione è infinitesima, o potrebbe esserci anche per $x=1$?
io ho considerato anche $x=1$, considerando l'insieme di convergenza $[0,1]$, e quindi per la definizione di convergenza uniforme ho fatto
$lim_(n->+oo) Sup_(x inI) |f_n (x)-f(x)|$, ottendendo 0. e quindi c'è convergenza uniforme nell'intervallo considerato, e pertanto anche puntuale.

[Matthia2]

C'è qualcosa che non va, o almeno non capisco cosa intendi quando dici che il termine generale della serie converge a [tex]x^n[/tex]; comunque sono d'accordo su quanto affermi per i casi [tex]0 \leq x < 1[/tex] e [tex]x>1[/tex], ma contesto il caso [tex]x=1[/tex]. Anche in questo caso tende a 0 ([tex]\frac{1}{+\infty}[/tex]).
Ora si può concludere che per [tex]x>1[/tex] non c'è convergenza puntuale (e quindi nemmeno uniforme).
Il criterio della radice permette di concludere che la serie converge puntualmente per [tex]0 \leq x < 1[/tex].
Per il caso [tex]x=1[/tex] puoi usare il confronto asintotico con la serie [tex]\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/tex], che converge; quindi la serie data converge puntualmente in [tex]0 \leq x \leq 1[/tex].
Per la convergenza puntuale non so aiutarti, ma il tuo ragionamento non mi pare corretto, se non altro perché non hai trovato la somma della serie, e senza quella non puoi calcolare il sup.