Serie di funzione..dubbio sul procedimento
Ciao a tutti, oggi l'esercitatore ci ha fatto degli esercizi sulle serie di funzioni. Ma in un esercizio mi sono persa. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Ci ha dato la seguente serie di funzioni $ sum_(n = 1)^(+\infty) (x)/(1+n^2 x) $, e ci ha detto $(x\geq 0)$
Bisogna determinare l'insieme E della convergenza puntuale e vedere se si ha convergenza uniforme.
prima lo stavo facendo a modo mio, poi guardo il prof e fa
per $x=0$ si ha $f_n(0)=0$, dunque l'insieme di convergenza puntuale in questo caso è $E=[0,+\infty)$
poi dice che la funzione è strettamente crescente (rispetto a $x$) e infatti $ (partial f)/(partial x)=(1)/((1+n^2x)^2) $
e dice che è $\geq 0, \forall x\geq 0$. Ok fino a qui ci sono. Poi però conclude l'esercizio dicendo
$\lim_(x\to +\infty) f_n(x)=(1)/(n^2)$ e dunque conclude che converge totalmente, quindi uniformemente e puntualmente.
Ora io mi domando, perchè fare tutto questo caos?
io mi sarei calcolata la convergenza puntuale al solito modo, e poi va bé avrei fatto la derivata prima come ha fatto lui.. dicendo che il sup in questo caso era $0$ e mi sarei calcolata $f_n (0)=0$ ed convergeva uniformemente..
Era sbagliato?
Ci ha dato la seguente serie di funzioni $ sum_(n = 1)^(+\infty) (x)/(1+n^2 x) $, e ci ha detto $(x\geq 0)$
Bisogna determinare l'insieme E della convergenza puntuale e vedere se si ha convergenza uniforme.
prima lo stavo facendo a modo mio, poi guardo il prof e fa
per $x=0$ si ha $f_n(0)=0$, dunque l'insieme di convergenza puntuale in questo caso è $E=[0,+\infty)$
poi dice che la funzione è strettamente crescente (rispetto a $x$) e infatti $ (partial f)/(partial x)=(1)/((1+n^2x)^2) $
e dice che è $\geq 0, \forall x\geq 0$. Ok fino a qui ci sono. Poi però conclude l'esercizio dicendo
$\lim_(x\to +\infty) f_n(x)=(1)/(n^2)$ e dunque conclude che converge totalmente, quindi uniformemente e puntualmente.
Ora io mi domando, perchè fare tutto questo caos?
io mi sarei calcolata la convergenza puntuale al solito modo, e poi va bé avrei fatto la derivata prima come ha fatto lui.. dicendo che il sup in questo caso era $0$ e mi sarei calcolata $f_n (0)=0$ ed convergeva uniformemente..
Era sbagliato?
Risposte
Per \(n\) fissato, \(f_n\) è una funzione crescente in \([0,+\infty)\), con \(f_n(0) = 0\).
Di conseguenza (un disegno aiuta)
\[
\sup_{x\geq 0} |f_n(x)| = \sup_{x\geq 0} f_n(x) = \lim_{x\to +\infty} f_n(x)
\]
dove la prima uguaglianza discende dal fatto che \(f_n(x) \geq 0\) e la seconda dal fatto che \(f_n\) è monotona crescente.
Di conseguenza (un disegno aiuta)
\[
\sup_{x\geq 0} |f_n(x)| = \sup_{x\geq 0} f_n(x) = \lim_{x\to +\infty} f_n(x)
\]
dove la prima uguaglianza discende dal fatto che \(f_n(x) \geq 0\) e la seconda dal fatto che \(f_n\) è monotona crescente.
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