Serie di funzione, convergenza uniforme
Sia data la seguente serie di funzioni:
$ \sum_{n=0}^(infty) n^2/2^n (x/(x^2 +1) -1)^n $
Tramite il criterio della radice, si osserva che l'intervallo di convergenza assoluta e puntuale è tutto l'asse reale $\mathbb{R}$ .
Devo stabilire se in $\mathbb{R}$ vi è anche convergenza Uniforme (La risposta è SÌ).
Considero il Criterio di Weierstrass, ovvero devo trovare una successione numerica tale che: $|f_n(x)| \leq M_n $.
Per avere convergenza uniforme, la serie numerica $ \sum_{n=n_0}^(infty) M_n $ deve convergere.
Ho dei problemi nel definire il maggiorante $M_n$, vi mostro quello che ho fatto:
$|f_n(x)| = | n^2/2^n (x/(x^2 +1) -1)^n| = n^2/2^n | (-x^2 +x -1)/(x^2 +1)|^n \leq n^2/2^n |-x^2 +x-1|^n$
Qualcuno potrebbe suggerirmi come portare avanti il procedimento per determinare $M_n$ ?
Vi ringrazio per la disponibilità,
Marco
$ \sum_{n=0}^(infty) n^2/2^n (x/(x^2 +1) -1)^n $
Tramite il criterio della radice, si osserva che l'intervallo di convergenza assoluta e puntuale è tutto l'asse reale $\mathbb{R}$ .
Devo stabilire se in $\mathbb{R}$ vi è anche convergenza Uniforme (La risposta è SÌ).
Considero il Criterio di Weierstrass, ovvero devo trovare una successione numerica tale che: $|f_n(x)| \leq M_n $.
Per avere convergenza uniforme, la serie numerica $ \sum_{n=n_0}^(infty) M_n $ deve convergere.
Ho dei problemi nel definire il maggiorante $M_n$, vi mostro quello che ho fatto:
$|f_n(x)| = | n^2/2^n (x/(x^2 +1) -1)^n| = n^2/2^n | (-x^2 +x -1)/(x^2 +1)|^n \leq n^2/2^n |-x^2 +x-1|^n$
Qualcuno potrebbe suggerirmi come portare avanti il procedimento per determinare $M_n$ ?
Vi ringrazio per la disponibilità,
Marco
Risposte
Una maniera di procedere e' studiare $ |x/(x^2+1)-1| $ : si trova che ha un punto di massimo assoluto in cui vale 3/2. [prova a farlo!]
Segue che
$ n^2/2^n|x/(x^2+1)-1|^n<=n^2*(1/2*3/2)^n=n^2(3/4)^n $
e questa e' una serie convergente!
Segue che
$ n^2/2^n|x/(x^2+1)-1|^n<=n^2*(1/2*3/2)^n=n^2(3/4)^n $
e questa e' una serie convergente!
Giusto, non ci avevo pensato...
Il massimo assoluto però ha coordinate (1, -1/2)....in ogni caso la serie è convergente.
Grazie per l'aiuto,
Marco
Il massimo assoluto però ha coordinate (1, -1/2)....in ogni caso la serie è convergente.
Grazie per l'aiuto,
Marco
No, attenzione, il massimo e' proprio 3/2 : la funzione senza modulo ha un massimo in x=1 con f(1)=1/2 ed un minimo in x=-1 f(-1)=-3/2, quindi quando metti il modulo il minimo diventa massimo!! 
[la funzione senza modulo e' tutta negativa e con il modulo viene ribaltata rispetto all'asse x] Ergo massimo della funzione con il modulo in x=-1 e pari a 3/2 come scritto!
[la funzione senza modulo e' tutta negativa e con il modulo viene ribaltata rispetto all'asse x] Ergo massimo della funzione con il modulo in x=-1 e pari a 3/2 come scritto!
Ops è vero, scusami! Grazie mille!!
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