Serie di funzione con e^(nx)

[Genny_it]

Salve Ragazzi, sono gennaro e mi sono imbattuto in questo es:
Calcolare la convergenza uniforme della seguente serie:
$sum(2^n/(2n+4)e^(nx))$ da $n=0$ a $+oo$ ( non so come scriverli rispettivamente sotto e sopra il simbolo di serie)
Inizialmente ho provato a risolverlo come serie di potenze scrivendolo così:
$sum(2^n/(2n+4)(e^x)^n)$
bene fatto questo ho posto $e^x=y$ poi ho calcolato il raggio di convergenza della serie facendo in questo modo (criterio del rapporto):
$lim 2^(n+1)/(2(n+1)+4) (2n+4)/2^n $ (n che tende a infinito) e mi son trovato $|y|<1/2$ da cui $-1/2 ma la condizione $e^x>(-1/2)$ è sempre verificata quindi non so cosa dire riguardante questo estremo! e non riesco quindi ad individuare l'intervallo di convergenza ne puntuale ne uniforme, (non so se ho sbagliato qualcosa ma non lo escludo) potreste aiutarmi per favore?

[Zero87]

Benvenuto al forum e... ok per il metodo di risoluzione della serie.

"Genny_it":mi son trovato $|y|<1/2$ da cui $-1/2 ma la condizione $e^x>(-1/2)$ è sempre verificata quindi non so cosa dire riguardante questo estremo!

Ricorda che
$-1/2 < e^x < 1/2$
equivale semplicemente a
${ ( e^x > -1/2),( e^x < 1/2 ):}$
da cui
${ ( \forall x \in \RR),( x < log(1/2) ):}$
quindi, in totale $x < log(1/2)$ e puoi sostituire $log(1/2)$ a $x$ e studiare la serie numerica che ottieni per vedere il comportamento agli estremi.

Per la convergenza uniforme ricordo un teorema che diceva che all'interno del raggio di convergenza una serie di potenze converge uniformemente e se mi ricordo giusto a più di 3 anni dalla laurea... per stasera camminerò a un palmo da terra...!

[Genny_it]

quindi veniva così giusto?
per $e^x=1/2$ la serie:
$sum(2^n/(2n+4)(e^(x))^n))$;
diventa:
$sum(1/(2n+4))$ e quindi per confronto asintotico abbiamo $sum(1/(n))$ che diverge in quanto serie armonica.

a questo punto se ho capito bene l'intervallo di convergenza puntuale è:
$]-oo,(1/2) [$ ; mentre quello uniforme è $]-oo,1/2-a]$ con $a>0$ ? oppure devo considerare come estremo $x=log(1/2)$ e quindi come intervallo di convergenza puntuale $]-oo,log(1/2)[$ e come intervallo di convergenza uniforme quindi $]-oo,log(1/2)-a]$ con $a>0$ ?
Grazie ancora dell'aiuto (spero di aver fatto bene gli intervalli)