Serie di funzione
Potreste dirmi se ho risolto bene quest'esercizio? Non ne sono molto sicura!
Studiare la convergenza della serie di funzioni
$\sum_{n=2}^oo (-1)^n/(n^2logn)log^n (x+2)$
Ho individuato le varie parti della serie e quindi:
$a_n= (-1)^n/(n^2logn)$
$y= log (x+2)$
Quindi scrivo una nuova serie (2) $\sum_{n=2}^oo (-1)^n/(n^2logn)y^n$
-Ora studio la convergenza puntuale e quindi calcolo il raggio di convergenza $rho$
Considerata la serie (2), $rho = lim_(n->oo)|a_n/a_(n+1)|)$ (criterio del rapporto) $= lim_(n->oo)1^n/(n^2logn)((n+1)^2log(n+1))/1^n$ A questo punto mi sono bloccata. Come si risolve questo limite? penso che il risultato sia $1$ in quanto numeratore e denominatore hanno lo stesso ordine di infinito, ma è giusto?
Studiare la convergenza della serie di funzioni
$\sum_{n=2}^oo (-1)^n/(n^2logn)log^n (x+2)$
Ho individuato le varie parti della serie e quindi:
$a_n= (-1)^n/(n^2logn)$
$y= log (x+2)$
Quindi scrivo una nuova serie (2) $\sum_{n=2}^oo (-1)^n/(n^2logn)y^n$
-Ora studio la convergenza puntuale e quindi calcolo il raggio di convergenza $rho$
Considerata la serie (2), $rho = lim_(n->oo)|a_n/a_(n+1)|)$ (criterio del rapporto) $= lim_(n->oo)1^n/(n^2logn)((n+1)^2log(n+1))/1^n$ A questo punto mi sono bloccata. Come si risolve questo limite? penso che il risultato sia $1$ in quanto numeratore e denominatore hanno lo stesso ordine di infinito, ma è giusto?
Risposte
Così ti torna:
\[
\frac{1}{\rho}=\lim_{n \to +\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\frac{\log n}{\log(n+1)}=1
\]?
\[
\frac{1}{\rho}=\lim_{n \to +\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\frac{\log n}{\log(n+1)}=1
\]?
Sì, è il ragionamento che ho fatto, pur calcolando direttamente $rho$ invece di $1/rho$ e quindi invertendo numeratore e denominatore nel limite. Quindi il risultato è giusto? 
grazie!
grazie!
A mio parere è giusto.
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