Serie di funzione
Salve a tutti! Stavo cercando di risolvere una serie di funzioni ma non sono molto sicuro sui risultati che mi sono trovato e se il procedimento è quello giusto 
.
L'esercizio è il seguente:
Data la serie determinare se converge,la convergenza della serie negli intervalli.
$ sum_(i = 1)^ (+infty ) (3^n//n^2+1)*(2x-1)^n $
Per prima cosa ho ricondotto la serie ad una di potenze più semplice:
2x-1=t
così da avere: $ sum_(i = 1)^ (+infty ) (3^n//n^2+1)*t^n $
Ora ho sfruttato il teorema di d'Alembert e quindi:
$ lim_(n to +infty) [(3^(n+1))//(n+1)^2+1]//[(3^n)// n^2+1 $ [ho saltato i passaggi riguardo il modulo in questo momento dato che la successione numerica è sempre positiva ]
ed il limite è 3
Quindi il raggio di convergenza di questa serie di potenze è (-1/3;+1/3) quindi la serie converge puntualmente in questo intervallo giusto?
ora cerco di capire se anche -1/3 ed 1/3 sono inclusi nell'intervallo andandoli a sostituire uno alla volta dentro la serie.
Se t=-1/3 allora la serie diventa una serie numerica di questo tipo:
$ sum_(i = 1)^ (+infty ) (3^n//n^2+1)*(-1//3)^n = sum_(i = 1)^ (+infty ) [(-1)^n]//n^2+1 $
che ho dimostrato che per il criterio di Leibniz la serie è convergente (anche assolutamente)
Se t=1/3 allora la serie diventa:
$ sum_(i = 1)^ (+infty ) (1)//n^2+1 $
che la si può confrontare con la serie armonica con (alfa)=2 [1/n^2] la quale avendo (alfa)>1 converge quindi anche la mia serie converge per il criterio del confronto ed essendo sempre positiva anche lei dovrebbe convergere assolutamente?
In fine mi sono calcolato i valori della x che sono : x=1/3 ed x= 2/3
quindi la serie converge totalmente nell'intervallo [1/3,2/3]
E' giusto?
.L'esercizio è il seguente:
Data la serie determinare se converge,la convergenza della serie negli intervalli.
$ sum_(i = 1)^ (+infty ) (3^n//n^2+1)*(2x-1)^n $
Per prima cosa ho ricondotto la serie ad una di potenze più semplice:
2x-1=t
così da avere: $ sum_(i = 1)^ (+infty ) (3^n//n^2+1)*t^n $
Ora ho sfruttato il teorema di d'Alembert e quindi:
$ lim_(n to +infty) [(3^(n+1))//(n+1)^2+1]//[(3^n)// n^2+1 $ [ho saltato i passaggi riguardo il modulo in questo momento dato che la successione numerica è sempre positiva ]
ed il limite è 3
Quindi il raggio di convergenza di questa serie di potenze è (-1/3;+1/3) quindi la serie converge puntualmente in questo intervallo giusto?
ora cerco di capire se anche -1/3 ed 1/3 sono inclusi nell'intervallo andandoli a sostituire uno alla volta dentro la serie.
Se t=-1/3 allora la serie diventa una serie numerica di questo tipo:
$ sum_(i = 1)^ (+infty ) (3^n//n^2+1)*(-1//3)^n = sum_(i = 1)^ (+infty ) [(-1)^n]//n^2+1 $
che ho dimostrato che per il criterio di Leibniz la serie è convergente (anche assolutamente)
Se t=1/3 allora la serie diventa:
$ sum_(i = 1)^ (+infty ) (1)//n^2+1 $
che la si può confrontare con la serie armonica con (alfa)=2 [1/n^2] la quale avendo (alfa)>1 converge quindi anche la mia serie converge per il criterio del confronto ed essendo sempre positiva anche lei dovrebbe convergere assolutamente?
In fine mi sono calcolato i valori della x che sono : x=1/3 ed x= 2/3
quindi la serie converge totalmente nell'intervallo [1/3,2/3]
E' giusto?
Risposte
PS: E' una cosa molto urgente 
[mod="dissonance"]@fabio: Non sollecitare una risposta prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento (clic) 3.4. Grazie.[/mod]
Chiedo umilmente venia u.u 
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