Serie di funzione

[Augosoma]

Ciao a tutti,
stavo facendo lo studio della seguente serie
$f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}kxe^{k(x^2-x)}$
siccome possiamo vederla come una serie di potenze:
$xe^(x^2-x)\sum ke^{(k-1)(x^2-x)}$
ho pensato che una volta determinato l'insieme di convergenza cioè
$x$ t.c. $-1< e^(x^2-x)< 1 \Rightarrow x^2-x<0 \Rightarrow 0< x\< 1$
per via della regolarità in tale insieme, cercare di calcolare direttamente la serie usando questo metodo:
$f(x)=\frac{d}{dx}\int f(x) dx=\frac{d}{dx} {\int xe^(x^2-x) \sum ke^{(k-1)(x^2-x)}}
ora integrando per parti con $h(x)=xe^(x^2-x)$ e $g'(x)=\sum ke^{(k-1)(x^2-x)}$
non scrivo tutti i calcoli il risultato viene:
$f(x)=\frac{e^{2(x^2-x)}x(2x-1)}{(1-e^{x^2-x})^2}$

secondo voi l'idea è giusta o non va bene come procedimento..
Perchè il problema in effetti si ha in $x=0$ perchè la serie iniziale converge, è 0; però studiando la convergenza uniforme non può esserci in un intorno dello 0 e neanche di 1, la convergenza uniforme si ha in $[\delta,1-\epsilon]$ con $\delta,\epsilon>0$.

[ciampax]

C'è qualcosa che non capisco: come fa ad essere una serie di potenze? Non ha mica la forma

$\sum_{k=0}^\infty \ a_k(x-x_0)^k$

o c'è qualcosa che mi sfugge???

[ViciousGoblin]

Mi pare che l'idea sia giusta. Volendo essere formali (@ ciampax) io scriverei $f(x)=xe^{x^2-x}g(e^{x^2-x})$ dove $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$.
Allora $g(z)=\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^{\infty}z^{k}=\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z^2}$ (mi pare un po' piu' semplice, ma e' la stessa cosa che hai fatto tu).
Naturalmente la formula su $g(z)$ vale per $|z|<1$. A questo punto sostituisci $z=e^{x^2-x}$ ...

In effetti in questo modo si e' messo in evidenza $x$ che potrebbe aiutare in $x=0$ - quello che abbiamo trovato da' una condizione sufficiente che implica la convergenza uniforme
in un intervallo in po' discosto da zero, ma potrebbe anche essere che la serie converga uniformemente fino a zero. Bisogna fare un'analisi piu' delicata (secondo me).

DOPO UN PO'
In effetti facendo il limite per $x\to0^-$ mi pare che $f(x)$ diverga perche' il denominatore e' dell'ordine di $x^2$ e questo rende impossibile la convergenza uniforme fino a zero.

[Augosoma]

ciao,
grazie della risposta, allora il ragionamento ci può stare, però per determinare l'insieme di convergenza penso che sia meglio farlo classicamente, far vedere che non converge totalmente su $[0,1)$ e al più mostrare che, in questo caso, è possibile calcolare direttamente la somma.

[ViciousGoblin]

"Augosoma":ciao,
grazie della risposta, allora il ragionamento ci può stare, però per determinare l'insieme di convergenza penso che sia meglio farlo classicamente, far vedere che non converge totalmente su $[0,1)$ e al più mostrare che, in questo caso, è possibile calcolare direttamente la somma.

A me per la verita' piace piu' l'altro - comunque mi pare che la convergenza uniforme sia su ogni $ [a,1-\epsilon]$ con $\epsilon>0$ e $-\infty (non vedo perche' tu debba prendere $a=0$).

[Augosoma]

Occhio, perchè converge uniformemente sui compatti di $(0,1)$ non sui compatti di $(-\infty,1)$.
Penso che sia meglio farlo classicamente perchè forse si capisce meglio cosa accade negli intorni di $0$, scrivendo direttamente la funzione somma forse potrebbe non far apparire chiaramente ciò che accade.

[ViciousGoblin]

"Augosoma":Occhio, perchè converge uniformemente sui compatti di $(0,1)$ non sui compatti di $(-\infty,1)$.
Penso che sia meglio farlo classicamente perchè forse si capisce meglio cosa accade negli intorni di $0$, scrivendo direttamente la funzione somma forse potrebbe non far apparire chiaramente ciò che accade.

Hai ragione che non vanno bene i compatti di $]-\infty,1[$ (in effetti avevo fatto dei ragionamenti a mente senza controllarli bene )
Pero' $]0,1[$ non c'entra nulla ( e anche al mia risposta precedente era assai imprecisa , sebbene il procedimento fosse giusto ho confuso piu' volte tra loro zero e uno ...)

DA CAPO
Abbiamo $f(x)=\sum_{k=1}^\infty kxe^{k(x^2-x)}=e^{x^2-x}xg(x^2-x)$ dove $g(z)=\sum_{k\geq 1}kz^{k-1}$. Se chiamo $\phi(x)=x^2-x$ possiamo scrivere anche $f(x)=xe^{\phi(x)}g(\phi(x))$

Sappiamo che $g(z)$ converge uniformemente sui compatti di $]-1,1[$ e ha come somma $\frac{1}{(1-z)^2}$ -- non e' difficile vedere che $g(z)$ non converge in $\pm1$ (e tantomeno se $|z|>1$).
Ne possiamo dedurre che $g(\phi(x))$ converge uniformemente su ogni $\phi^{-1}(K)$ per ogni $K\subset ]-1,1[$ compatto e non converge se $|\phi(x)|\geq 1$.
Per caratterizzare tali insiemi studiamo $-1\leq\phi(x)\leq1$ che (SE NON CI SONO ERRORI) si traduce in $1-\sqrt{5}\leq x\leq 1+\sqrt{5}$.
E' chiaro allora che $g(\phi(x))$ converge uniformemente sui compatti di $]1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}[$ (che contiene lo zero) e non converge fuori.
A questo punto la moltiplicazione per $xe^{x^2-x}$ non cambia nulla (potrebbe aiutare in zero, ma li' le cose vanno gia' bene) e quindi $f(x)$ converge uniformemente sui compatti di $]1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}[$.

Mi pare proprio che ragionare in questo modo (come avevi proposto all'inizio) faccia capire meglio come vanno le cose. Comunque dimmi se ti torna (i miei errori di distrazione
sono ormai frequentissimi).

Chiedo scusa per tutte le imprecisioni precedenti - bisognerebbe sempre fare i calcoli bene prima di rispondere.
Mi sono anche accorto di un altro errore (di battitura) nel post precedente: ovviamente $g(z)=\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}$ e non $\frac{1}{(1-z^2)}$.

[Augosoma]

E' giusto quando dici che $-1 Qundi $f(x)$ converge in $(0,1)$ ma non uniformemente, perchè in un intorno dello zero ad esempio se si prende $x=\frac{1}{k}$ la serie non converge; qindi dobbiamo discostarci dallo zero lo stesso accade per uno.
Riassumendo la convergenza è uniforme nei compatti di $(0,1)$.
Secondo così dovrebbe andare.
Provo a ricontrollare intanto.
Ciao

[ViciousGoblin]

"Augosoma":E' giusto quando dici che $-1 Qundi $f(x)$ converge in $(0,1)$ ma non uniformemente, perchè in un intorno dello zero ad esempio se si prende $x=\frac{1}{k}$ la serie non converge; qindi dobbiamo discostarci dallo zero lo stesso accade per uno.
Riassumendo la convergenza è uniforme nei compatti di $(0,1)$.
Secondo così dovrebbe andare.
Provo a ricontrollare intanto.
Ciao

RI - SCUSA sono nel pallone!!! E' vero che $z=e^{x^2-x}$ e quindi ci vogliono i compatti di $]0,1[$

Meglio che io lasci perdere per un po'....