Serie di funzione

[alby09090909]

Ciao, io ho queste due serie di cui devo discutere dove converge (assolutamente e puntualmente).
Volevo chiedere a voi visto che non ho le soluzioni.

$\sum_{n=1}^\infty(n/{n^2+1})(\frac{x-2}{x+2})^n$

Dopo aver visto che in x=2 converge a 0 banalmente.
Col criterio del rapporto ho visto che $|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}| \to |\frac{x-2}{x+2}|$ e risolvendo $|\frac{x-2}{x+2}| < 1$ mi viene che converge assolutamente nell'intervallo $(0, +\infty)$
Mentre la convergenza puntuale c'è anche in x = 0 per il criterio di Leibnitz.

Corretto?

[alby09090909]

Se volessi discutere anche la convergenza totale come potrei fare?
Sarebbe corretto dire che converge totalmente negli insiemi del tip $I_a=(0;a]$ dove $a>0$?

[Mephlip]

Lo svolgimento per la convergenza assoluta/puntuale è corretto. Ma il caso $x\in(-\infty,-2) \cup (-2,0)$? Non lo hai trattato perché si assume $x \ge 0$ per ipotesi?

Se non riporti il tuo svolgimento per la convergenza totale, non possiamo né verificarlo né smentirlo.

[alby09090909]

L'ho escluso senza qua riportarlo poiché il termine generale non sarebbe infinitesimo in quel caso.
Per quando riguarda la convergenza totale ho visto che:
Su $ I = (0, +\infty), \text{sup}|f_n(x)| = 1$ pertanto non c'è alcuna serie numerica che maggiora la serie.
Invece, se $I_a = (0, a]$ con $a >0$, essendo $f_n(x)$ crescente $\text{sup}|f_n(x)| = f_n(a)$ la cui serie converge per lo studio precedente.

[Mephlip]

"Albi":L'ho escluso senza qua riportarlo poiché il termine generale non sarebbe infinitesimo in quel caso.

Ok!

"Albi":
Invece, se $I_a=(0,a]$ con $a>0$, essendo $f_n(x)$ crescente $\text{sup}|f_n(x)|=f_n(a)$ la cui serie converge per lo studio precedente.

No, è falso che $f_n$ è crescente su $(0,a]$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e per ogni $a>0$. Ad esempio, $f_2 (1/2)=\frac{18}{125}>\frac{2}{45}=f_2(1)$.

[alby09090909]

Vero, come potrei fare dunque?
Ci sono due andamenti diversi se n è pari o dispari, o mi sbaglio?

[Mephlip]

Come hai determinato che $f_n$ è crescente? Credo che tu possa salvare almeno parte di quel ragionamento, distinguendo i casi al variare di $a$.

[alby09090909]

Potrei dire che converge totalmente in $I_a = [2,a]$ se $a>2$
Poichè la derivata si annulla in x=2 (dove f è anche nulla), corretto?

[pilloeffe]

Ciao Albi,

"Albi":[...] non c'è alcuna serie numerica che maggiora la serie.

Questo è vero, però potrebbe essere di un qualche interesse notare che per $x \ge 0 $ si può scrivere:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n/(n^2+1))(\frac{x-2}{x+2})^n < \sum_{n=1}^{+\infty} (n/(n^2))(\frac{x-2}{x+2})^n = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{x-2}{x+2})^n/n = - ln(4/(x + 2)) = ln((x + 2)/4) $

[alby09090909]

Si vero, sto cercando una maggiorazione perché il nostro professore ci ha mostrato di fare così. Tuttavia non riesco a trovare questo maggiorante.
Questa disuguaglianza scritta da te significa che converge totalmente ?

[Mephlip]

"pilloeffe":per $x \ge 0 $ si può scrivere:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n/(n^2+1))(\frac{x-2}{x+2})^n < \sum_{n=1}^{+\infty} (n/(n^2))(\frac{x-2}{x+2})^n = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{x-2}{x+2})^n/n = - ln(4/(x + 2)) = ln((x + 2)/4) $

@pilloeffe: Quella disuguaglianza vale solo per $x>2$, perché per $0< x <2$ il segno di $\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^n$ dipende da $n$.

@Albi: Confermo, converge totalmente in $[2,a]$ per ogni $a>2$. Rimane da dimostrare/confutare che in $(0,a]$ converge uniformemente per ogni $0

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[alby09090909]

Ok, la convergenza uniforme non la ha spiegata il nostro professore.
Ma La totale si può ancora discutere in $I_a = (0, a]$ per ogni $0 Cioè posso dire che se prendo un intervallo $I = [b,2]$ con $0

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[pilloeffe]

Chiedo scusa, ovviamente ha ragione Mephlip, ho sbagliato un paio di cose, le riporto corrette qui di seguito:

per $x \ge 2 $ (cioè quando la serie proposta converge, dato che converge per $x \ge 0$) si ha:

$\sum_{n=1}^{+\infty} (n/(n^2+1))(\frac{x-2}{x+2})^n \le \sum_{n=1}^{+\infty} (n/(n^2))(\frac{x-2}{x+2})^n = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{x-2}{x+2})^n/n = - ln(4/(x + 2)) = ln((x + 2)/4) $