Serie di Fourier, precisazioni e curiosità

[Astonish1]

Salve, sono nuovo del forum e questo è il mio primo post, spero di essere chiaro e di imparare ad usare le formule correttamente.

Cito da Wikipedia (http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier) la definizione di forma rettangolare della Serie di Fourier di una funzione il cui periodo è implicitamente [tex]T=2\pi[/tex]

[tex]f(x)={a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^\infty {a_ncos(nx)+b_nsin(nx)}[/tex]

e i coefficienti di Fourier sono

[tex]a_0={1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx[/tex]
[tex]a_n={1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx[/tex]
[tex]b_n={1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx[/tex]

Dove [tex]a_0[/tex] è un caso particolare di [tex]a_n[/tex], giacchè se [tex]n=0\Rightarrow a_n={1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(0)dx={1\over\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx[/tex]

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Usando questa definizione per calcolare la Serie di Fourier di [tex]f(x)={\pi-x\over2}[/tex] periodicizzata in [tex][0,2\pi][/tex] ho ottenuto che

[tex]{a_0\over2}={\pi\over2}[/tex]
[tex]a_n=0[/tex]
[tex]b_n={(-1)^n\over n}[/tex]

Da cui quindi

[tex]f(x)={\pi\over2}+\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n}sin(nx)[/tex]

Fin qui mi è parso tutto teoricamente esatto, ma al momento della verità, inserendo la funzione da studiare e il suo sviluppo in serie in Geogebra, lo sviluppo era si sempre più preciso per [tex]n[/tex] grandi (comunque non oltre 20) ma è venuto tutto traslato di [tex]+\pi\over2[/tex] sull'asse y e di [tex]\pi[/tex] sull'asse x. Propongo possibili soluzioni e quesiti:

1) La traslazione su y potrebbe essere spiegata eliminando il termine [tex]{a_0\over2}={\pi\over2}[/tex] aggiunto alla serie, giustificato dal fatto che tutti gli [tex]a_n=0[/tex]. Però ricavando [tex]a_0[/tex] dalla definizione con l'integrale il risultato mi viene stranamente diverso da 0.
2) Non ho idea del perchè lo sviluppo trovato sia traslato sull'asse x.

Ho ricontrollato i miei calcoli più volte e a questo voglio capire se il problema è "semplicemente" mio, quanto a conti, oppure se c'è qualche errore più teorico di fondo. Grazie.

[Rigel1]

Può dipendere dal fatto che hai definito $f$ su $[0,2\pi)$ (poi estendendola) mentre hai calcolato gli integrali su $(-\pi, \pi)$.
Dico questo perché dovresti avere $a_0 = 0$, visto che il valor medio della funzione su un periodo è nullo.

[Astonish1]

"Rigel":Può dipendere dal fatto che hai definito $f$ su $[0,2\pi)$ (poi estendendola) mentre hai calcolato gli integrali su $(-\pi, \pi)$.
Dico questo perché dovresti avere $a_0 = 0$, visto che il valor medio della funzione su un periodo è nullo.

Secondo questo sito http://fisicaondemusica.unimore.it/Sviluppi_in_serie_di_Fourier.html il coefficiente $a_0$ è calcolato integrando in $[0,2\pi]$ e non in $[-\pi,\pi]$, tenendo conto che implicitamente $T=2\pi$. Così facendo viene $a_0=0$ e si risolve il problema della traslazione su y, ma resta il fatto che tutto lo sviluppo è spostato indietro di $\pi$ su x e l'unico modo di far quadrare i conti è intervenire direttamente sulla variabile $x$ dello sviluppo, che però essendo che ogni $a_n=0$ si trova solo in $sin(nx)$ ed è indipendente dai calcoli sui coefficienti, cioè non posso intervenire!

Non riesco a capire il problema.

[Rigel1]

I coefficienti li puoi calcolare integrando su qualsiasi intervallo di lunghezza un periodo, per esempio $[\log(17), \log(17)+2\pi]$.
Il problema è un altro: dire che $f(x) = (\pi - x)/2$ su $[0,2\pi)$, poi estesa con periodicità, è diverso da dire che $f(x) = (\pi - x)/2$ su $[-\pi,\pi)$, poi estesa con periodicità; provare per credere (un disegno aiuta).