Serie di Fourier-pari e dispari

[Lelouko]

Buonasera, stavo facendo un esercizio anche sulla serie di fourier e sono riuscita alla fine a trovare i coefficienti, ma il problema sorge qui nella distinzione di pari e dispari:
$cos(kpi/3)-cos(2kpi/3)=cos(kpi/3)-cos(pi-pi/3)=cos(kpi/3)-(-1)^kcos(kpi/3)=
={(0,per k pari),(2cos(kpi/3),per k dispari):}$

Il secondo e il terzo passaggio non riesco a capirli bene

[pilloeffe]

Ciao Lelouko,

Secondo me nel secondo passaggio ti sei persa una $k$:

$ cos(kpi/3)-cos(2kpi/3) = cos(kpi/3)-cos(k\pi-k\pi/3) $

[Lelouko]

Si nel secondo passaggio l’ho perso, e sarebbe $cos(kpi/3)-cos(pi-kpi/3)$

[pilloeffe]

"Lelouko":
e sarebbe $cos(k\pi/3)−cos(\pi−k\pi/3)$

Beh, hai sbagliato di nuovo...
Si ha:

$ cos(k\pi/3)-cos(2k\pi/3) = cos(k\pi/3)-cos(k\pi-k\pi/3) = $
$ = cos(k\pi/3) - [cos(k\pi)cos(kpi/3) + sin(k\pi)sin(k\pi/3)] = $
$ = cos(k\pi/3) - [(-1)^k cos(kpi/3) + 0 \cdot sin(k\pi/3)] = $
$ = cos(k\pi/3)\cdot [1 - (-1)^k] = {(0, text{ se } k text{ è pari} ),(2 cos(k\pi/3), text{ se } k text{ è dispari}):} $

[Lelouko]

I passaggi li ho presi dal sito dal professore e ti assicuro che il secondo passaggio è proprio cosi, quindi probabilmente ha sbagliato allora? Per questo non capivo. Invece nel tuo 3 passaggio hai usato una formula goniometrica giusto?

[pilloeffe]

"Lelouko":I passaggi li ho presi dal sito dal professore e ti assicuro che il secondo passaggio è proprio cosi, quindi probabilmente ha sbagliato allora?

Come dico sempre in questi casi può capitare a tutti di sbagliare, anche ai professori, sono esseri umani anche loro... Potresti segnalarglielo, così magari hai un bonus per l'orale...

"Lelouko":Invece nel tuo 3 passaggio hai usato una formula goniometrica giusto?

Sì, ho usato la ben nota formula trigonometrica

$ cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha\sin\beta $

con $\alpha = k\pi $ e $\beta = k\pi/3 $

[Lelouko]

uh lo farò, solo che è solo scritto ahah, comunque grazie mille