Serie di Fourier forma complessa.
Ciao a tutti,
devo calcolare la funzione di fourier della segunte $f(x) = e^x$
poi dovrei passare dalla forma complessa a quella reale.
Io ho calcolato la forma complessa ma temo di aver fatto qualche errore di calcolo.
fourier complessa:
$f(x)=\sum_{n= -infty}^\infty \frac{i*n* e^(2pi)}{2pi(1+n^2)}* e^(jnx).
Da questa formula se cerco di passare a quella reale trovo come risultato dei coefficenti sempre 0.
Grazie in anticipo!
devo calcolare la funzione di fourier della segunte $f(x) = e^x$
poi dovrei passare dalla forma complessa a quella reale.
Io ho calcolato la forma complessa ma temo di aver fatto qualche errore di calcolo.
fourier complessa:
$f(x)=\sum_{n= -infty}^\infty \frac{i*n* e^(2pi)}{2pi(1+n^2)}* e^(jnx).
Da questa formula se cerco di passare a quella reale trovo come risultato dei coefficenti sempre 0.
Grazie in anticipo!
Risposte
sicuro che non sia $f(x) = e^-x$ perchè altrimenti $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2dx$ non è finito.
In qualunque caso, avendo un segnale conitnuo e aperiodico devi farne la traformata, non la serie.
In qualunque caso, avendo un segnale conitnuo e aperiodico devi farne la traformata, non la serie.
Innanzitutto immagino tu debba otterene la serie di Fourier della funzione periodica con base [tex]f(x)=e^x[/tex] nell'intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex](è quadrato integrabile in quest'intervallo, quindi si può sviluppare). I coefficienti sono:
[tex]c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx[/tex]
Dunque:
[tex]c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}dx=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}}{1-in}[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{2\pi(1+n^2)}[e^\pi e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi}](1+in)[/tex]
Dato che per qualsiasi [tex]n[/tex], [tex]e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^{n}[/tex] si ha
[tex]\displaystyle c_n=\frac{(-1)^{n}\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}(1+in)[/tex].
Quindi
[tex]a_n=c_n+c_{-n}=\frac{(-1)^{n}2\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/tex]
[tex]b_n=i(c_n-c_{-n})=\frac{(-1)^{n+1}2n\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/tex]
[tex]c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx[/tex]
Dunque:
[tex]c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}dx=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}}{1-in}[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{2\pi(1+n^2)}[e^\pi e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi}](1+in)[/tex]
Dato che per qualsiasi [tex]n[/tex], [tex]e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^{n}[/tex] si ha
[tex]\displaystyle c_n=\frac{(-1)^{n}\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}(1+in)[/tex].
Quindi
[tex]a_n=c_n+c_{-n}=\frac{(-1)^{n}2\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/tex]
[tex]b_n=i(c_n-c_{-n})=\frac{(-1)^{n+1}2n\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/tex]
"K.Lomax":
Innanzitutto immagino tu debba otterene la serie di Fourier della funzione periodica con base [tex]f(x)=e^x[/tex] nell'intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex](è quadrato integrabile in quest'intervallo, quindi si può sviluppare). I coefficienti sono:
[tex]c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx[/tex]
Dunque:
[tex]c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}dx=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}}{1-in}[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{1}{2\pi(1+n^2)}[e^\pi e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi}](1+in)[/tex]
Dato che per qualsiasi [tex]n[/tex], [tex]e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^{n}[/tex] si ha
[tex]\displaystyle c_n=\frac{(-1)^{n}\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}(1+in)[/tex].
Quindi
[tex]a_n=c_n+c_{-n}=\frac{(-1)^{n}2\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/tex]
[tex]b_n=i(c_n-c_{-n})=\frac{(-1)^{n+1}2n\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/tex]
grazie per la risposta. Date le regole dell´´integrale questo sviluppo equivale anche per la stessa funzione ma nell´intervallo $ [0, 2pi]?$ vero?
E' facile vedere che non è la stessa cosa. Prova a fare i calcoli.
"K.Lomax":
E' facile vedere che non è la stessa cosa. Prova a fare i calcoli.
io calcoli per questo intervallo tra $ [0 , 2*pi ] $ li ho fatti e trovo la funzione che ho scritto nel mio primo post.
ora i calcoli li ho contrallati piü di una volta e a me sembrano giusti.
La cosa che mi sembra impossibile é quella che come puö esistere la funzione complessa senza quella reale? perché a me i coefficenti reali risultano nulli.
$c_n=$
usando la tua formula sono in quest´altro intervallo $[0 , 2*pi]$
$= (i*n *e^(2*pi)*e^ (-2pi*j*n))/ (2pi*(1+n^2))$
usando la tua formula sono in quest´altro intervallo $[0 , 2*pi]$
$= (i*n *e^(2*pi)*e^ (-2pi*j*n))/ (2pi*(1+n^2))$
Se sviluppi in [tex][0,2\pi][/tex]
[tex]\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi(1+n^2)}[e^{(1-in)2\pi}-1](1+in)=[/tex]
[tex]=\frac{e^{(1-in)\pi}}{2\pi(1+n^2)}[e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}](1+in)=\frac{e^{\pi}\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}(1+in)[/tex]
Quindi è uguale a quello di prima a meno del fattore [tex](-1)^n[/tex] e dell'amplificazione [tex]e^\pi[/tex] (come normale che sia dato che la funzione ora la stai considerando per le sole ascisse positive, ed è molto più grande).
[tex]\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi(1+n^2)}[e^{(1-in)2\pi}-1](1+in)=[/tex]
[tex]=\frac{e^{(1-in)\pi}}{2\pi(1+n^2)}[e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}](1+in)=\frac{e^{\pi}\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}(1+in)[/tex]
Quindi è uguale a quello di prima a meno del fattore [tex](-1)^n[/tex] e dell'amplificazione [tex]e^\pi[/tex] (come normale che sia dato che la funzione ora la stai considerando per le sole ascisse positive, ed è molto più grande).
"K.Lomax":
Se sviluppi in [tex][0,2\pi][/tex]
[tex]\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi(1+n^2)}[e^{(1-in)2\pi}-1](1+in)=[/tex]
[tex]=\frac{e^{(1-in)\pi}}{2\pi(1+n^2)}[e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}](1+in)=\frac{e^{\pi}\sinh(\pi)}{\pi(1+n^2)}(1+in)[/tex]
Quindi è uguale a quello di prima a meno del fattore [tex](-1)^n[/tex] e dell'amplificazione [tex]e^\pi[/tex] (come normale che sia dato che la funzione ora la stai considerando per le sole ascisse positive, ed è molto più grande).
ok grazie
devo sicuramente aver sbagliato i conti.. 
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