Serie di Fourier e sistemi completi
Sia $X$ uno spazio di Hilbert e $S$ un sistema ortonormale completo.
Preso $x in X$, consideriamo la serie di Fourier di $x$ rispetto ad $S$. Chiaramente, trovandoci in uno spazio di Hilbert, la serie di Fourier di $x$ converge; indichiamo con $p$ la somma di tale serie. La convergenza della serie di Fourier rispetto a un sistema ortonormale completo in uno spazio di Hilbert è da intendersi nel senso dell'energia.
A questo punto, possiamo restringere l'attenzione a $L^2(0,2pi)$. Per come è costruita la serie di Fourier, il vettore $x-p$ è ortogonale a tutti gli elementi di $S$. Ma $S$ è completo, dunque l'unico vettore ortogonale a $S$ è il vettore nullo. Ma allora $x-p$ è il vettore nullo. A questo punto mi chiedo: il fatto che $x-p$ sia il vettore nullo non implica qualcosa di più forte della semplice convergenza in media di ordine 2, come ad esempio la convergenza puntuale q.o.?
Attendo pareri.
Preso $x in X$, consideriamo la serie di Fourier di $x$ rispetto ad $S$. Chiaramente, trovandoci in uno spazio di Hilbert, la serie di Fourier di $x$ converge; indichiamo con $p$ la somma di tale serie. La convergenza della serie di Fourier rispetto a un sistema ortonormale completo in uno spazio di Hilbert è da intendersi nel senso dell'energia.
A questo punto, possiamo restringere l'attenzione a $L^2(0,2pi)$. Per come è costruita la serie di Fourier, il vettore $x-p$ è ortogonale a tutti gli elementi di $S$. Ma $S$ è completo, dunque l'unico vettore ortogonale a $S$ è il vettore nullo. Ma allora $x-p$ è il vettore nullo. A questo punto mi chiedo: il fatto che $x-p$ sia il vettore nullo non implica qualcosa di più forte della semplice convergenza in media di ordine 2, come ad esempio la convergenza puntuale q.o.?
Attendo pareri.
Risposte
"Kroldar":No. Puoi consultare il Rudin Real and complex analysis, capitolo 5, paragrafo Fourier series of continuous functions: è dimostrato che esiste una parte (addirittura densa e costituita da funzioni continue) di $L^2$ contenente funzioni la cui serie di Fourier non converge puntualmente q.o. [EDIT: errore - converge puntualmente q.o. ma non ovunque. Vedi ultimo post.]
il fatto che $x-p$ sia il vettore nullo non implica qualcosa di più forte della semplice convergenza in media di ordine 2, come ad esempio la convergenza puntuale q.o.?
Servono proprietà ulteriori di regolarità per la convergenza puntuale. Ad esempio con una funzione di classe $C^1$ hai la convergenza puntuale (e anzi uniforme). Un esercizio del Rudin (il 22 del 5° capitolo) chiede di dimostrare che si ha convergenza puntuale per le funzioni $alpha$-hoelderiane. E probabilmente ci saranno una miriade di altri risultati in proposito che io ignoro. Aspetta l'intervento di qualche peso massimo del forum.
provo a dare una mano anche io...
secondo me Kroldar logicamente stai mischiando due passaggi....
- tu sai che la serie 'di Fourier' (metto tra virgolette perchè io chiamo serie di Fourier solo quando entrano in gioco seni e coseni cmq) di x converge ad un vettore p in norma (che può anche non essere x)....
- poi dal fatto che x-p=0 è il vettore nullo deduci solo che il vettore a cui converge p è x... insomma quel che deduci è che la funzione a cui converge p è uguale a x q.o., ma ciò non toglie che la convergenza delle somme parziali a p fosse in norma (L^2)...
era questo il tuo problema?
secondo me Kroldar logicamente stai mischiando due passaggi....
- tu sai che la serie 'di Fourier' (metto tra virgolette perchè io chiamo serie di Fourier solo quando entrano in gioco seni e coseni cmq) di x converge ad un vettore p in norma (che può anche non essere x)....
- poi dal fatto che x-p=0 è il vettore nullo deduci solo che il vettore a cui converge p è x... insomma quel che deduci è che la funzione a cui converge p è uguale a x q.o., ma ciò non toglie che la convergenza delle somme parziali a p fosse in norma (L^2)...
era questo il tuo problema?
Premetto che la mia domanda non è: sotto quali condizioni la serie di Fourier converge puntualmente?
Vorrei semplicemente capire dov'è la falla in quello che ho scritto.
@dissonance
Ok, se lo dici tu ci credo. Però vorrei capire cosa c'è nel mio ragionamento che non va.
Se $x-p = 0$, allora $x = p$. E dunque $x$ e $p$ sono lo stesso elemento di $L^2$. Ma gli elementi di $L^2$ sono classi di equivalenza formate da funzioni coincidenti q.o., dunque $x$ e $p$ devono coincidere q.o.
Dov'è l'errore?
@Thomas
Scusami, non ho capito cosa volevi dire. Se vorrai ripetere, sarò ben lieto di porre la mia attenzione.
Nota: con $p$ non intendi una successione, ma il limite della successione, dunque $p$ non tende a nulla, poiché è un ben preciso elemento.
Vorrei semplicemente capire dov'è la falla in quello che ho scritto.
@dissonance
Ok, se lo dici tu ci credo. Però vorrei capire cosa c'è nel mio ragionamento che non va.
Se $x-p = 0$, allora $x = p$. E dunque $x$ e $p$ sono lo stesso elemento di $L^2$. Ma gli elementi di $L^2$ sono classi di equivalenza formate da funzioni coincidenti q.o., dunque $x$ e $p$ devono coincidere q.o.
Dov'è l'errore?
@Thomas
Scusami, non ho capito cosa volevi dire. Se vorrai ripetere, sarò ben lieto di porre la mia attenzione.
Nota: con $p$ non intendi una successione, ma il limite della successione, dunque $p$ non tende a nulla, poiché è un ben preciso elemento.
non è che mi puoi invece dire tu cosa non capisci 
?
anche se fosse tutto, cita passo per passo tanto il msg era breve!
? anche se fosse tutto, cita passo per passo tanto il msg era breve!
"Thomas":
poi dal fatto che x-p=0 è il vettore nullo deduci solo che il vettore a cui converge p è x... insomma quel che deduci è che la funzione a cui converge p è uguale a x q.o., ma ciò non toglie che la convergenza delle somme parziali a p fosse in norma (L^2)...
Non ho capito nulla di questo paragrafo.
beh quando dico "a cui converge p" intendevo "a cui converge la sommatoria che converge a p", ovvero p certo ma lo dicevo per ricordare cosa era p in quella frase,,,
ok stiamo scrivendo in controfase ... nel prox post che può essere o tra 2 minuti o tra 2 ore (vado in piscina!) mi spiego....
... nel prox post che può essere o tra 2 minuti o tra 2 ore (vado in piscina!) mi spiego....
Ehm, non ho davvero capito il messaggio che vuoi mandarmi. Credimi. Come se avessi scritto qualcosa in turco 
p=x quasi ovunque non dice nulla sul modo di convergenza delle somme parziali della serie di Fourier a p... sono due cose distine...
ecco questo intendevo.... ora vado a nuotare ciao!
ecco questo intendevo.... ora vado a nuotare ciao!
ma ne riparliamo magari sto sparando cavolate...
ps: aumento i miei post in maniera superba stasera!
ps: aumento i miei post in maniera superba stasera!
"Thomas":
p=x quasi ovunque non dice nulla sul modo di convergenza delle somme parziali della serie di Fourier a p... sono due cose distine...
ecco questo intendevo.... ora vado a nuotare ciao!
Ok! Mi hai convinto!
Grazie a tutti coloro che sono intervenuti.
"Kroldar":
@dissonance
Ok, se lo dici tu ci credo. Però vorrei capire cosa c'è nel mio ragionamento che non va.
Se $x-p = 0$, allora $x = p$. E dunque $x$ e $p$ sono lo stesso elemento di $L^2$. Ma gli elementi di $L^2$ sono classi di equivalenza formate da funzioni coincidenti q.o., dunque $x$ e $p$ devono coincidere q.o.
Dov'è l'errore?
Ma infatti qui non c'è nessun errore.
L'errore sta nel primo post, quando passi da "coincidenza q.o. di $p$ ed $x$" (cosa ovvia) a "tutta la serie converge q.o. ad $x$" (ciò non è vero, come dimostrato su Rudin).
Al massimo ci potrebbe essere convergenza q.o. per un'estratta dalla successione delle somme parziali, forse; dico questo perchè esiste un classico esempio di successione di funzioni convergente in $L^p$ che non converge q.o.
L'esempio si fabbrica come segue: per ogni fissato $h\in NN$ si partiziona $I=[0,1]$ in $2^h$ parti che non si sovrappongono d'ugual misura $I_(h,k)$, ove:
$I_(h,k):=[k/2^h,(k+1)/2^h]$ con $k in {0,\ldots 2^(h+1)-1}$
L'insieme $N$ delle coppie $(h,k)$ si può ordinare in maniera naturale ponendo:
$(h,k) <= (H,K)$ se e solo se $h<=H$ oppure $h=H$ e $k<=K$
ed è numerabile: perciò si può costruire una biiezione di $sigma:NN\to N$ che conserva l'ordine, nel senso che $n<=m => sigma(n) <=sigma(m)$.*
Poniamo $f_n:=chi_(I_(sigma(n)))$ (cioè $f_n$ è la funzione caratteristica di $I_(sigma(n))$) e mostriamo che $f_nto 0$ in ogni $L^p$ (in particolare in $L^2$) e che però $f_n$ non converge q.o. in $[0,1]$.
Invero è:
$||f_n||_p^p=\int_(k/2^h)^((k+1)/2^h) 1^p" d"x=1/2^h$
ove $(h,k)=sigma(n)$; per quanto detto in nota, si ha $n\to +oo$ se e solo se $h\to +oo$, per cui $||f_n||_p\to 0$ ed $f_nto 0$ in $L^p$.
D'altra parte nessun $x\in [0,1]$ appartiene definitivamente a tutti gli $I_(h,k)$: ciò importa che la successione numerica $f_n(x)$ assume infinite volte il valore $0$ ed infinite volte il valore $1$, cosicché non può convergere in nessun punto di $[0,1]$.
__________
* Si verifica facilmente che la $sigma(n)$ associa ad $n$ l'unica coppia $(h,k)$ tale che $2^h-1<=n<=2^(h+1)-2$ e $n=2^h-1+k$.
Essendo sempre in tema, mi sembrava inutile aprire un nuovo topic.
Fermo restando che il mio dubbio iniziale è chiarito ormai, ho letto da qualche parte che esiste un teorema dovuto a Carleson che dice che la serie di Fourier in $L^2$ converge puntualmente quasi ovunque. Tuttavia questo mi sembra in contrasto col fatto che il Rudin esibisca degli esempi di funzioni in $L^2$ la cui serie di Fourier non converge puntualmente quasi ovunque. Forse il teorema di Carleson si riferisce esclusivamente alla serie trigonometrica di Fourier?
Fermo restando che il mio dubbio iniziale è chiarito ormai, ho letto da qualche parte che esiste un teorema dovuto a Carleson che dice che la serie di Fourier in $L^2$ converge puntualmente quasi ovunque. Tuttavia questo mi sembra in contrasto col fatto che il Rudin esibisca degli esempi di funzioni in $L^2$ la cui serie di Fourier non converge puntualmente quasi ovunque. Forse il teorema di Carleson si riferisce esclusivamente alla serie trigonometrica di Fourier?
"Kroldar":Ho trovato un riferimento a questo risultato nell'appendice del Rudin, cito:
Essendo sempre in tema, mi sembrava inutile aprire un nuovo topic.
Fermo restando che il mio dubbio iniziale è chiarito ormai, ho letto da qualche parte che esiste un teorema dovuto a Carleson che dice che la serie di Fourier in $L^2$ converge puntualmente quasi ovunque. Tuttavia questo mi sembra in contrasto col fatto che il Rudin esibisca degli esempi di funzioni in $L^2$ la cui serie di Fourier non converge puntualmente quasi ovunque. Forse il teorema di Carleson si riferisce esclusivamente alla serie trigonometrica di Fourier?
"Real and complex analysis - Notes and comments - Chapter 5":
Sec 5.11. Although there are continuous functions whose Fourier series diverge (*) on a dense $G_\delta$ (**), the set of divergence must have measure 0. This was proved by L. Carleson (Acta Math. vol.116 pp.135-157, 1966) for all $f$ in $L^2(T)$; the proof was extended to $L^p(T), p>1$ by R. Hunt. See also [Y. Katznelson "An Introduction to Harmonic Analysis", Wiley and Sons, 1968].
(*) Per "serie divergente" lui intende "serie non convergente";
(**) Un $G_\delta$ è una intersezione numerabile di aperti.
Sembra una cosa piuttosto complicata
Allora la convergenza è effettivamente puntuale q.o.; ma di sicuro non per tutte le funzioni continue si ha convergenza puntuale ovunque.
"dissonance":
Allora la convergenza è effettivamente puntuale q.o.; ma di sicuro non per tutte le funzioni continue si ha convergenza puntuale ovunque.
Certo, non ho mai detto il contrario. Volevo semplicemente sapere se la convergenza puntuale q.o. vale solo per la serie di Fourier rispetto al sistema trigonometrico (esponenziale) o anche rispetto a qualunque sistema ortonormale completo. Da quel paragrafo del Rudin purtroppo la risposta alla mia domanda non si evince.
"Kroldar":Si, il fatto che ci sia convergenza q.o. è la cosa che ha stupito me (e mi ha portato a correggere il mio post precedente).
Certo, non ho mai detto il contrario. Volevo semplicemente sapere se la convergenza puntuale q.o. vale solo per la serie di Fourier rispetto al sistema trigonometrico (esponenziale) o anche rispetto a qualunque sistema ortonormale completo.
Per la tua domanda, ovviamente non so rispondere. Ho dato una rapida occhiata al testo di Katznelson, però, e mi pare di capire che la trattazione usi in maniera sostanziale le proprietà del sistema trigonometrico. Quindi propendo per la prima delle due alternative che hai detto tu.
Ti ringrazio in ogni caso per esserti interessato alla questione. Anche secondo me questo risultato è strabiliante e mi meraviglio di come sia scarsamente diffuso nei corsi di Analisi e in letteratura.
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