Serie di Fourier e autocorrelazione
Ciao a tutti,
mi chiedevo se qualcuno poteva aiutarmi con questo esercizio risolto.
Valutare serie di Fourier e funzione di autocorrelazione di
$y(t)= x(t) * (\delta(t)-delta(t-T))$ con $x(t) = sum_{k=-infty}^{+infty} (e^-(t-2kT) * u(t-2kT))$
La delta è l'elemento neutro della convoluzione. Sfruttando ciò e la sua proprietà di campionamento ho
$y(t) = x(t)-x(t-T) = sum_{k=-infty}^{+infty} (e^-(t-2kT) * u(t-2kT))-sum_{k=-infty}^{+infty} (e^-(t-T(1+2k)) * u(t-T(1+2k)))$
Sono 2 repliche periodiche nella forma $x(t+nT)$ della stessa funzione $e^(-t)$ Nel primo caso, $n=2k$, nel secondo $n=2k+1$ (indici pari e dispari)
Calcolo quindi la trasformata di Fourier di $F[e^-t * u(t)] = 1/(j2pif+1)$
Sfruttando infine le formule di periodicizzazione, il coefficiente della serie di Fourier $Y_k = 1/T * X(k/T) = 1/(j2pik-T)$
Riguardo la funzione di autocorrelazione:
Essendo un segnale periodico, è sicuramente un segnale di potenza e non di energia. Quindi l'autocorrelazione del segnale è dato da $lim_{T->infty} 1/T * int_{-infty}^{+infty}e^-t*e^-(t-\alpha)dt$
Il quale mi sembra un integrale immediato.
Voi cosa ne pensate?
Grazie!
mi chiedevo se qualcuno poteva aiutarmi con questo esercizio risolto.
Valutare serie di Fourier e funzione di autocorrelazione di
$y(t)= x(t) * (\delta(t)-delta(t-T))$ con $x(t) = sum_{k=-infty}^{+infty} (e^-(t-2kT) * u(t-2kT))$
La delta è l'elemento neutro della convoluzione. Sfruttando ciò e la sua proprietà di campionamento ho
$y(t) = x(t)-x(t-T) = sum_{k=-infty}^{+infty} (e^-(t-2kT) * u(t-2kT))-sum_{k=-infty}^{+infty} (e^-(t-T(1+2k)) * u(t-T(1+2k)))$
Sono 2 repliche periodiche nella forma $x(t+nT)$ della stessa funzione $e^(-t)$ Nel primo caso, $n=2k$, nel secondo $n=2k+1$ (indici pari e dispari)
Calcolo quindi la trasformata di Fourier di $F[e^-t * u(t)] = 1/(j2pif+1)$
Sfruttando infine le formule di periodicizzazione, il coefficiente della serie di Fourier $Y_k = 1/T * X(k/T) = 1/(j2pik-T)$
Riguardo la funzione di autocorrelazione:
Essendo un segnale periodico, è sicuramente un segnale di potenza e non di energia. Quindi l'autocorrelazione del segnale è dato da $lim_{T->infty} 1/T * int_{-infty}^{+infty}e^-t*e^-(t-\alpha)dt$
Il quale mi sembra un integrale immediato.
Voi cosa ne pensate?
Grazie!
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