Serie di Fourier di una distribuzione temperata

[eliotsbowe]

Salve, sulle dispense di metodi matematici per l'ingegneria da cui sto studiando, riguardo la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate, c'è il seguente asserto:

In S' vale l'uguaglianza: x(t) = $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{k} e^{j k \omega_{o} t}$ .

Non sono sicuro di aver interpretato bene il testo, ovvero: ogni distribuzione temperata è somma della propria serie di Fourier?

Se sì, perchè?

Sulle dispense c'è una proposizione secondo cui "ogni distribuzione temperata è una funzione a crescenza lenta, o una derivata di una funzione a crescenza lenta".
A questo punto, mi verrebbe da cercare una conferma alla mia interpretazione muovendomi così: ogni funzione a quadrato sommabile è somma della propria serie di Fourier (la convergenza è intesa nel senso dell'energia), giusto? Allora se ogni funzione a crescenza lenta fosse a quadrato sommabile, la mia interpretazione sarebbe corretta, o sbaglio?

Grazie anticipatamente.

[dissonance]

"eliotsbowe": se ogni funzione a crescenza lenta fosse a quadrato sommabile, la mia interpretazione sarebbe corretta, o sbaglio?

No, no, sei fuori strada. Le funzioni a crescita lenta sono una classe MOLTO più ampia della semplice classe $L^2$. Il fenomeno delle convergenza delle serie di Fourier, però, è lo stesso di quello osservato in $L^2$, a patto di sostituire la convergenza nel senso di $L^2$ (o dell'energia, con il linguaggio dei segnali) con la convergenza delle distribuzioni temperate che è molto più light.

[eliotsbowe]

Perfetto, thanks.