Serie di Fourier di funzione assolutamente continua

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Se $f$ è una funzione assolutamente continua di periodo $2\pi$ e la sua derivata \(f'\in L^2[-\pi,\pi]\) è a quadrato sommabile secondo Lebesgue, leggo (p. 407 qui) che la serie di Fourier di $f$ è convergente ad una certa funzione \(\varphi\) che è continua ed ha gli stessi coefficienti di Fourier di $f$.

Il libro prosegue affermando che da qui in virtù della continuità delle due funzioni otteniamo \(f=\varphi\). Come si vede ciò?

Ho perso una giornata ad impostare disuguaglianze e non sono giunto a nulla...
\(\sum_{k=1}^\infty\)grazie\(_k\) a tutti!

[dissonance]

Sono uguali nello spazio $L^2$ e quindi coincidono quasi ovunque

[DavideGenova1]

Grazie!!! Mmh... \(\int_{[-\pi,\pi]}f-\varphi d\mu=0\) perché coincide il coefficiente \(a_0/2\), ma non sono certo di capire perché \(\int_{[-\pi,\pi]}|f-\varphi|^2 d\mu=0\). A meno di usare l'isomorfismo con \(\ell_2\) e la completezza di \(\{\cos mx,\sin nx\}\), che, però, non è ancora stata dimostrata dal testo...

[dissonance]

E ridalle. Sembra di stare scrivendo un romanzo di fantascienza: "come sarebbe la realta' se ...". Ogni cosa che quel libro fa NON la fa nella maniera standard del resto del mondo. E' chiaro che cio' che avevo in mente usava la completezza del sistema trigonometrico, ovvero la spina dorsale della teoria $L^2$ delle serie di Fourier. Senza quella ora non saprei come procedere, e francamente, neanche mi sembra un esercizio utile. Tu proprio NON vuoi cambiare libro, vero? (Ormai non so piu' come dirtelo! )

[DavideGenova1]

"dissonance":Tu proprio NON vuoi cambiare libro, vero? (Ormai non so piu' come dirtelo! )

[ot]Mi restano un centinaio di pagine per terminarlo e le parti "principali", più teoriche, su spazi topologici vettoriali, operatori lineari, teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue le ho assimilate nell'essenziale, direi (anche se rileggendo certi teoremi noto talvolta di aver frainteso l'uso internamente incoerente dei termini a volte neanche definiti nel testo, come ieri sera leggendo una dimostrazione* in cui punto limite, da me inteso come punto di accumulazione, è usato nel senso probabile di punto di aderenza -cosa che so non essere inusitata, ma la coerenza interna non nuocerebbe-, nonostante altrove, come nella definizione di precompattezza numerabile, viene usato nel senso di punto di accumulazione): se anche da qui in avanti non ci capissi più nulla di nulla la prenderei "sportivamente" e, almeno per pura curiosità, ci vorrei provare...
Quindi dici che è un testo molto "eccentrico"...
Trovo spesso delle "recensioni" piene di lodi di questo testo, soprattutto della traduzione parziale in inglese Introduction to Real Analysis, che devo dire essere molto più chiara perché almeno è solita esplicitare i domini di ogni applicazione e dare le definizioni dei termini che usa, ma anche del testo originale, di cui quello italiano è una traduzione senza rimaneggiamenti, che ho visto definire addirittura meglio di Introduction to Real Analysis e sarei portato a credere che quella di non capirci niente sia una mia limitazione, nonostante a volte mi baleni l'idea che, onestamente, se ad un esame si cercasse di dimostrare qualcosa senza neanche definire inequivocabilmente il dominio di un'applicazione o provando un caso particolare senza neanche farlo notare dicendo che -senza pretendere il come- così non si perde di generalità, o usando in sensi diversi, magari distinti da quello per cui lo si è definito, lo stesso termine tecnico, ben difficilmente si avrebbe il massimo dei voti, sempre che lo si passasse... Mi viene da pensare che Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale sia uno stupendo libro di matematica se lo si legge conoscendo già non troppo superficialmente gli argomenti trattati -infatti mi sono trovato benissimo nel ripasso di topologia del secondo capitolo-, ma dal punto di vista didattico, come mi fai notare, lasci molto a desiderare.

*[size=85]Teorema 1 di p. 71 qui, dimostrazione necessità. Un controesempio al fatto che $x$ sia punto di accumulazione delle sfere $B_n$ è lo spazio $R\subset\mathbb{R}$ costituito da una corona circolare chiusa unita al suo centro. Se le sfere $B_n$ sono cerchi concentrici di raggio $\to 0$ centrati nel centro della corona circolare $x_1=x_2=...$, il limite \(\lim_n x_n\) non è punto di accumulazione di nessuna delle sfere di raggio strettamente minore del raggio interno della corona circolare[/size][/ot]

[dissonance]

E' un discorso pîu' complicato di quanto non sembri. Tu continui ad applicare delle categorie letterarie alla matematica: il libro "piu' bello", le "recensioni", il "mi mancano un centinaio di pagine". Come se i libri di matematica fossero romanzi.

Mi dispiace essere duro, ma dalle tue ultime domande, direi che le tue ultime letture non ti hanno fatto tanto bene come forse credi. Continui ad avere le idee confuse su questioni basilari e onestamente non sembri avere sufficiente maturita' matematica per affrontare un problema di media difficolta'. Credo che tu stia sistematicamente sbagliando il bersaglio nei tuoi studi, e la scelta di libri cosi' astrusi e atipici certamente non aiuta.

Secondo me, le cose da fare sono due: una, piu' urgente, e' chiudere il Kolmogorov-Fomin, cosi' come hai chiuso quell'altro assurdo trattato di geometria di Hilbert. La seconda e' di consultare qualche esperto e di prendere delle lezioni di matematica. (Iscriversi all'universita' sarebbe il massimo). Hai bisogno di vedere qualcuno all'opera per capire come un matematico ragiona. Hai anche bisogno di consultarti con altre persone; questo tuo studio isolato non ti sta portando grande beneficio.

Ora devo proprio andare, se vuoi ne possiamo parlare in altro momento.

[DavideGenova1]

"dissonance":direi che le tue ultime letture non ti hanno fatto tanto bene come forse credi

Temo che non mi abbiano fatto bene e punto, essendo arrivato a confondere concetti che, quando ho studiato sul Sernesi, mi erano del tutto chiari, come quelli di punto di aderenza e di accumulazione.

"dissonance":la scelta di libri cosi' astrusi e atipici certamente non aiuta.

Il fatto è che il Kolmogorov-Fomin non sapevo che fosse tanto atipico: pensa che l'ho scelto proprio perché ho letto commenti molto positivi su di esso anche in rapporto ad altri testi e perché ero in cerca di un testo il più chiaro possibile... Pensa che il mio libro di testo ideale è quello che tratta lo studente come un deficiente e spiega anche le cose più banali, in modo da essere certo di non aver male interpretato alcun passaggio.
(Quanto a Hilbert, la mia era una curiosità storica, anche se credevo, da commenti on line sul libro e dal retrocopertina della mia edizione, che fosse un testo fruibile anche da un lettore con conoscenze elementari di matematica [sic].)
Ti ringrazio ancora per i tuoi commenti e non temere di offendermi, ché ogni osservazione della realtà non può che giovarmi!