Serie di Fourier con f di periodo diverso da 2pi

[Linux1987]

Salve, la mia domanda è questa : perchè se dobbiamo costruire la serie di fourier di una funzione $ F(t) t \in [a,b]$ periodica di periodo $T=b-a$ ,dobbiamo proiettare $[a,b] $ in $[-\pi,\pi]$ ?

[ciampax]

Perché $\{1,\cos nx,\ \sin mx\}$ è ortogonale completo solo su $[-\pi,\pi]$. Se cambi la periodicità, devi non solo cambiare l'argomento delle funzioni trigonometriche ma anche l'intervallo di definizione.

[Linux1987]

"ciampax":
Perché {1,cosnx, sinmx} è ortogonale completo solo su [−π,π] .

Che intendi?.
inoltre dopo aver effettuato la proiezione di [a,b] in [−π,π] , anche le ridotte divengono periodiche di periodo (b-a).

Inoltre con la proiezione , l'argomento delle funzioni trigonometriche se $ t \in [a ,b] $ diviene che $2\pi/(b-a)*(t-a)-\pi $ e quindi avremo ad es $cos(2k\pi(t-a)/(b-a) -\pi)$ e anche l'argomento delle funzioni trigonometriche di conseguenza cambia !!

[ciampax]

Mi sa che ti manca un passaggio: se consideri un intervallo generico, diciamo per comodità $[0,T]$, per la periodicità, allora il sistema ortogonale che serve per sviluppare con Fourier è il seguente $\{1,\cos({2n\pi x}/t),\sin({2m\pi x}/T)\}$ e la proiezione serve proprio a raccordare questa cosa.

[Linux1987]

no aspetta io non so nemmeno cosa sia questo sistema ortogonale , nella trattazione di fourier che stiamo facendo non ne parla proprio. Quello che ho scritto io non è corretto?

Ragazzi vi prego datemi una mano
In orizzontale era troppo lunga se puo salvala e vedila!
Quello che non capisco è : se i valori proiettati si trovano in $[-\pi,\pi]$ perchè le funzioni cambiano periodo?

[Linux1987]

per piacere datemi una mano