Serie di Fourier, come studiare la convergenza (puntuale ed uniforme)
Salve ragazzi, come da titolo vi chiedo quale metodo utilizzare per studiare la convergenza puntuale ed uniforme nella serie di Fourier.
Per non essere troppo generico vi dico subito che so quali sono le condizioni per cui la serie converga puntualmente ed uniformemente, ma il mio problema è non riuscire a capire nella pratica come fare.
Ho per esempio la funzione $ f(x) = x $ di periodo $ 2pi $ definita in $[-pi,pi]$
Ecco, ora senza fare i calcoli dei coefficienti di fourier, ma disegnandola e basta posso capire già se converge puntualmente e uniformemente? In particolare cosa devo fare?
la convergenza puntuale mi dice che devo fare $ 1/2*(f(x+)+(fx-)) $
ma non capisco per quali punti intenda,cioè dove calcolare il limite.
Inoltre la convergenza uniforme come posso trovarla in maniera pratica?
Per non essere troppo generico vi dico subito che so quali sono le condizioni per cui la serie converga puntualmente ed uniformemente, ma il mio problema è non riuscire a capire nella pratica come fare.
Ho per esempio la funzione $ f(x) = x $ di periodo $ 2pi $ definita in $[-pi,pi]$
Ecco, ora senza fare i calcoli dei coefficienti di fourier, ma disegnandola e basta posso capire già se converge puntualmente e uniformemente? In particolare cosa devo fare?
la convergenza puntuale mi dice che devo fare $ 1/2*(f(x+)+(fx-)) $
ma non capisco per quali punti intenda,cioè dove calcolare il limite.
Inoltre la convergenza uniforme come posso trovarla in maniera pratica?
Risposte
Se la funzione è continua e derivabile allora la serie converge uniformemente alla funzione in tutti gli intervalli chiusi e limitati; se ci sono punti di discontinuità o di non derivabilità (ma vengono comunque rispettate le condizioni di Dirichlet), allora la serie converge puntualmente, inoltre la serie converge uniformemente in tutti gli intervalli chiusi e limitati dove la funzione è continua.
La funzione che hai messo come esempio è continua e derivabile in tutto l'intervallo, perciò non hai bisogno del teorema della convergenza puntuale. Se ci fossero dei punti di discontinuità allora avresti dovuto usare quel teorema per calcolare il valore della serie nei punti di discontinuità (dove peraltro avviene il fenomeno di Gibbs).
La funzione che hai messo come esempio è continua e derivabile in tutto l'intervallo, perciò non hai bisogno del teorema della convergenza puntuale. Se ci fossero dei punti di discontinuità allora avresti dovuto usare quel teorema per calcolare il valore della serie nei punti di discontinuità (dove peraltro avviene il fenomeno di Gibbs).
"renat_":
Se la funzione è continua e derivabile allora la serie converge uniformemente alla funzione in tutti gli intervalli chiusi e limitati; se ci sono punti di discontinuità o di non derivabilità (ma vengono comunque rispettate le condizioni di Dirichlet), allora la serie converge puntualmente, inoltre la serie converge uniformemente in tutti gli intervalli chiusi e limitati dove la funzione è continua.
La funzione che hai messo come esempio è continua e derivabile in tutto l'intervallo, perciò non hai bisogno del teorema della convergenza puntuale. Se ci fossero dei punti di discontinuità allora avresti dovuto usare quel teorema per calcolare il valore della serie nei punti di discontinuità (dove peraltro avviene il fenomeno di Gibbs).
Grazie, sto capendo finalmente.
Quindi essendo $ f(x) = x $ continua nell'intervallo considerato,che poi prolungo per periodicità, derivabile mi permette di dire subito che converge uniformemente in tutti gli intervalli del tipo $ -kpi,kpi $ Non so se questo intervallo è sbagliato o corretto, in caso correggimi, perché spesso leggo negli esempi di altri esercizi degli intervalli che non capisco da dove escano.
Per quanto riguarda la convergenza puntuale uso la formula nel caso in cui la funzione non è derivabile in qualche punto (non è continua) giusto?
l'intervallo di periodicità può essere qualunque(esiste proprio un teorema a riguardo), ma io nel corso di analisi 1 ho affrontato solo le funzioni 2pigreco periodiche quindi non ti saprei rispondere precisamente; comunque se ti viene definita una funzione in un intervallo, la corrispondente serie di fourier sarà periodica rispetto a quell'intervallo (visto che in ogni caso ci converge puntualmente); poi avendo definito una funzione periodica in un intervallo di ampiezza pari al periodo è come se l'avessi definita in tutto R.
Per i punti di discontinuità: per le condizioni di dirichlet possono essere di prima o terza specie; in quel caso il teorema sulla convergenza puntuale è indispensabile;
I punti di non derivabilità: la convergenza puntuale non è che serva a molto, però nelle cuspidi, per esempio, la funzione viene arrotondata.
Per i punti di discontinuità: per le condizioni di dirichlet possono essere di prima o terza specie; in quel caso il teorema sulla convergenza puntuale è indispensabile;
I punti di non derivabilità: la convergenza puntuale non è che serva a molto, però nelle cuspidi, per esempio, la funzione viene arrotondata.
"renat_":
l'intervallo di periodicità può essere qualunque(esiste proprio un teorema a riguardo), ma io nel corso di analisi 1 ho affrontato solo le funzioni 2pigreco periodiche quindi non ti saprei rispondere precisamente; comunque se ti viene definita una funzione in un intervallo, la corrispondente serie di fourier sarà periodica rispetto a quell'intervallo (visto che in ogni caso ci converge puntualmente); poi avendo definito una funzione periodica in un intervallo di ampiezza pari al periodo è come se l'avessi definita in tutto R.
Per i punti di discontinuità: per le condizioni di dirichlet possono essere di prima o terza specie; in quel caso il teorema sulla convergenza puntuale è indispensabile;
I punti di non derivabilità: la convergenza puntuale non è che serva a molto, però nelle cuspidi, per esempio, la funzione viene arrotondata.
Il 90% dei casi ci vengono date funzioni 2pigreco periodiche, comunque non cambia molto penso.
Per quanto riguarda di nuovo la convergenza, ovviamente una delle condizioni necessarie è che si abbiano discontinuità di prima specie, quindi limite destro e sinistro finiti, solo che da un punto di vista teorico ho capito il concetto, ma nella pratica non riesco mai a fare discorsi sulla convergenza... Guardo il grafico e non so mai dire se la convergenza è uniforme oppure se la convergenza è solamente puntuale. E' questo il mio problema... nonostante abbia capito cosa significhi e abbia studiato le varie condizioni(continua a tratti,regolare a tratti ecc..).
Edit:
Faccio un esempio: non riesco a capire in che modo la funzione $ f(x) = x^2 : x (-pi, pi) $ converge... e se converge uniformemente o puntualmente...
Guarda, se il problema è questo, ti consiglio di riguardarti la parte sulle successioni e serie di funzioni
"Nasmil":
Edit:
Faccio un esempio: non riesco a capire in che modo la funzione $ f(x) = x^2 : x (-pi, pi) $ converge... e se converge uniformemente o puntualmente...
la funzione è continua e derivabile nell'intervallo, quindi la convergenza è uniforme
Si ma la funzione data (parlo di $f(x)=x$ per $x\in (-\pi, \pi)$ ) non ha un prolungamento $2\pi$ periodico continuo. Infatti nei punti $k\pi$, $k=0, \pm 1, \pm 2\ldots$ ha dei salti. Bisogna tenere conto di questo perché la serie di Fourier avrà dei problemi di convergenza in questi punti.
hai ragione, non ho notato le parentesi tonde; in ogni caso la funzione converge uniformemente perché:
$f(-\pi^+/2)=f(\pi^-/2)$ quindi la serie converge a $f(\pi)=f(-\pi)$ in $\pi$ e $-\pi$
PS la funzione in questione è $f(x)=x^2$
$f(-\pi^+/2)=f(\pi^-/2)$ quindi la serie converge a $f(\pi)=f(-\pi)$ in $\pi$ e $-\pi$
PS la funzione in questione è $f(x)=x^2$