Serie di fourier

[alberto.sanzari]

salve a tutti....ho qualche problema nel calcolare una serie di fourier; la serie è la seguente: 4x(pi-abs(x)) con -pi è una funzione dispari e quindi An=0. Per quanto riguarda i termini Bn=2/pi*int tra 0 e pi di 4x(pi-abs(x))*sennx dx....integrando per parti il risultato mi viene 16/pi*n^3*[(-1)^n-1]. Già qui non so se ho fatto bene perchè ho integrato solo tra 0 e pi e non anche tra -pi e 0....comunque andando avanti per n=2k la serie è nulla mentre per n=2k+1 la serie è uguale a 32/pi*(2k+1)^3.....per cui tramite l'uguaglianza di parseval abbiamo che 4x(pi-abs(x))=32/pi*sum 1/(2k+1)^3* sen(2k+1)x.
Va bene la serie svolta così?? inoltre dovrei calcolare la convergenza per x=-pi e x=0...so che devo usare il teorema di dirichlet però non so come...spero che qualcuno mi possa aiutare....

[Sk_Anonymous]

Decodifico in parte:

$f(x)=4x(pi-|x|) ^^ -pi
$[A_n=0] ^^ [B_n=2/pi\int_{0}^{pi}4x(pi-|x|)sin(nx)dx=16/(pin^3)[(-1)^n-1]]$

Dovresti controllare la corretteza di quello che ho scritto e riscrivere il resto in modo più leggibile. Magari aiutati "citando" questo messaggio.

[alberto.sanzari]

innanzitutto grazie della risposta...comunque mi trovo con il tuo risultato...ma come fai a scrivere con i simboli matematici? sarebbe molto utile e più ordinato....comunque adesso dovremmo trovare se la serie converge nei punti x=-pi e x=0...come si può procedere? ah un altra cosa...ma dopo aver trovato il nostro risultato non si deve fare il passaggio per n=2k e n=2k+1? grazie ancora

[Sk_Anonymous]

"jalbo":
...comunque mi trovo con il tuo risultato...

Io non ho fatto calcoli, mi sono limitato ad interpretare parzialmente i tuoi risultati. Se "citi" quel messaggio, puoi comprendere più concretamente come utilizzare i simboli. Sopra c'è anche una guida per scrivere le formule. Per non scoraggiare chi ti potrebbe aiutare, sarebbe meglio che tu imparassi fin da adesso. A questo punto, ho controllato anche il risultato, mi sembra che tu abbia sbagliato il segno:

$[B_n=2/pi\int_{0}^{pi}4x(pi-|x|)sin(nx)dx=16/(pin^3)[1-(-1)^n]]$

Quindi:

$[4x(pi-|x|)=\sum_{n=0}^{+oo}32/(pi(2n+1)^3)sen[(2n+1)x]]$

[alberto.sanzari]

"speculor":Decodifico in parte:

$f(x)=4x(pi-|x|) ^^ -pi
$[A_n=0] ^^ [B_n=2/pi\int_{0}^{pi}4x(pi-|x|)sin(nx)dx=16/(pin^3)[(-1)^n-1]]$

Dovresti controllare la corretteza di quello che ho scritto e riscrivere il resto in modo più leggibile. Magari aiutati "citando" questo messaggio.

ok...allora una volta giunti a questo risultato $[B_n=2/pi\int_{0}^{pi}4x(pi-|x|)sin(nx)dx=16/(pin^3)[(-1)^n-1]]$ faccio il passaggio per n=2k+1 e ottengo:$[B_n=32/pi/sum1/(2k+1)^3sin(2k+1)x]$ (adesso ho capito come si scrive!! )....comunque adesso per trovare la convergenza nei punti x=-pi e x=0 devo procedere con il teorema di dirichlet cioè devo trovare i limiti destro e sinistro dei punti in questione ...ma non ho capito bene come fare!! ....

[Sk_Anonymous]

No, non si capisce molto. Riprova, magari sarai più fortunato. In ogni modo, mi sembra che tu sia d'accordo con il mio risultato. Per quanto riguarda il resto, intanto ti ricordo che la tua funzione è continua anche per $[x=0]$. Voglio dire, non si comprende la tua preoccupazione per $[x=0]$. Inoltre, quando prolunghi una funzione continua definita per $[-pi

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[alberto.sanzari]

"speculor":No, non si capisce molto. Riprova, magari sarai più fortunato. In ogni modo, mi sembra che tu sia d'accordo con il mio risultato. Per quanto riguarda il resto, intanto ti ricordo che la tua funzione è continua anche per $[x=0]$. Voglio dire, non si comprende la tua preoccupazione per $[x=0]$. Inoltre, quando prolunghi una funzione continua definita per $[-pi

Adesso l'ho aggiustato!! ....però non ho capito la tua spiegazione sulla convergenza...me la puoi rispiegare più semplicemente? grazie

[Sk_Anonymous]

La somma della serie vale la funzione in tutti i punti in cui la funzione è continua. La funzione in esame è continua per $[-pi

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[alberto.sanzari]

ok...allora vediamo se ho capito: essendo la nostra funzione continua su tutto R incluso i due punti x=-pi e x=0 possiamo dire che converge uniformemente su tutto R e quindi anche puntualmente cioè nei miei due punti??
ok dopo di questo...dovrei calcolarmi il valore della serie nel punto X=pi/2 e dopo aver fatto i calcoli mi viene pi^2...mi confermi questo risultato?? grazie mille

[Sk_Anonymous]

Volendo, puoi riferirti a questa condizione sufficiente:



Inoltre:

$[4x(pi-|x|)=\sum_{n=0}^{+oo}32/(pi(2n+1)^3)sen[(2n+1)x]] rarr [pi^2=\sum_{n=0}^{+oo}32/(pi(2n+1)^3)sen[(2n+1)pi/2]]$

Confermo.

[alberto.sanzari]

ok grazie mille!!!