Serie di Fourier
Ciao a tutti
ho un esercizio da svolgere del quale fatico a capire il testo
provo a postarlo qui, magari qualcuno di voi, se conosce questo tipo di esercizio può indicarmi che cosa si richiede
Vi riporto il testo così com'è scritto:
calcolare il valore della serie
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + \cdots[/tex]
utilizzando la serie di Fourier nei punti $x=0$ e $x=1$
non ho altro in questo esercizio
qualcuno sa che cosa si intenda?
grazie
ho un esercizio da svolgere del quale fatico a capire il testo
provo a postarlo qui, magari qualcuno di voi, se conosce questo tipo di esercizio può indicarmi che cosa si richiede
Vi riporto il testo così com'è scritto:
calcolare il valore della serie
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + \cdots[/tex]
utilizzando la serie di Fourier nei punti $x=0$ e $x=1$
non ho altro in questo esercizio
qualcuno sa che cosa si intenda?
grazie
Risposte
Vuol dire che la serie assegnata può essere pensata o come la somma di una serie di Fourier calcolata o in \(x=0\) oppure come la somma di un'altra serie di Fourier calcolata in \(x=1\)...
Quali sono queste due serie?
E quali funzioni generano quelle due serie?
Risposto a queste due domande, sei a posto.
Quali sono queste due serie?
E quali funzioni generano quelle due serie?
Risposto a queste due domande, sei a posto.
Grazie
però ho un dubbio,
se ho capito correttamente quello che mi hai spiegato, devo vedere la serie data, come una serie calcolata in 0 (per esempio)
ma ci sono tante serie che danno lo stesso risultato
ad esempio
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{ \infty} \frac{1-x}{(2n)^{2}}[/tex]
ma anche
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{ \infty} \frac{2^{x}}{(2n)^{2}}[/tex]
tanto per dirne due
lo stesso ragionamento lo posso fare per una serie calcolata in 1
c'è un modo per determinare quale devo considerare? Sono nella direzione giusta?
però ho un dubbio,
se ho capito correttamente quello che mi hai spiegato, devo vedere la serie data, come una serie calcolata in 0 (per esempio)
ma ci sono tante serie che danno lo stesso risultato
ad esempio
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{ \infty} \frac{1-x}{(2n)^{2}}[/tex]
ma anche
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{ \infty} \frac{2^{x}}{(2n)^{2}}[/tex]
tanto per dirne due
lo stesso ragionamento lo posso fare per una serie calcolata in 1
c'è un modo per determinare quale devo considerare? Sono nella direzione giusta?
Scusa, Summerwind, ma le serie che citi ti sembrano serie di Fourier?
ottima osservazione
mi ritiro per deliberare!!!
mi ritiro per deliberare!!!
Se ci fosse stato il pulsante "mi piace" su matematicamente lo mettevo sul penultimo messaggio si Summerwind!
[OT]
Intendi questo?
Io non l'avrei fatto.
Anche se è innegabile il fatto che la serie numerica si possa riguardare in millemila modi come serie di Fourier calcolata in \(0\) od \(1\) (questo perché, e.g., si può variare arbitrariamente il sistema ortonormale rispetto al quale scrivere la serie), leggendo quel post sembra che l'utente non abbia nemmeno la minima idea di cosa sia una serie di Fourier...
[/OT]
"elgiovo":
Se ci fosse stato il pulsante "mi piace" su matematicamente lo mettevo sul penultimo messaggio si Summerwind!
Intendi questo?
Io non l'avrei fatto.
Anche se è innegabile il fatto che la serie numerica si possa riguardare in millemila modi come serie di Fourier calcolata in \(0\) od \(1\) (questo perché, e.g., si può variare arbitrariamente il sistema ortonormale rispetto al quale scrivere la serie), leggendo quel post sembra che l'utente non abbia nemmeno la minima idea di cosa sia una serie di Fourier...
[/OT]
gugo82, non è per quello che ho posto quella domanda
ho frainteso il senso di ciò che hai detto
ho pensato di dover trovare due serie generiche e poi determinare una serie di fourier che le generasse
in effetti mi rendo conto che non ha senso quello che ho pensato
ho frainteso il senso di ciò che hai detto
ho pensato di dover trovare due serie generiche e poi determinare una serie di fourier che le generasse
in effetti mi rendo conto che non ha senso quello che ho pensato
"gugo82":
[OT]
[quote="elgiovo"]Se ci fosse stato il pulsante "mi piace" su matematicamente lo mettevo sul penultimo messaggio si Summerwind!
Intendi questo?
Io non l'avrei fatto.
Anche se è innegabile il fatto che la serie numerica si possa riguardare in millemila modi come serie di Fourier calcolata in \(0\) od \(1\) (questo perché, e.g., si può variare arbitrariamente il sistema ortonormale rispetto al quale scrivere la serie), leggendo quel post sembra che l'utente non abbia nemmeno la minima idea di cosa sia una serie di Fourier...
[/OT][/quote]
OMG Gugo, un pò di senso ironico... Era un post con talmente poco senso che mi faceva ridere!
ragazzi non esageriamo con la critica.
ve l'ho detto che ho interpretato male il senso
suppongo che il forum sia nato con lo spirito di aiutare un utente a fugare i propri dubbi, non per deridere pubblicamente le sue lacune
ve l'ho detto che ho interpretato male il senso
suppongo che il forum sia nato con lo spirito di aiutare un utente a fugare i propri dubbi, non per deridere pubblicamente le sue lacune
Spero di aver quindi applicato il ragionamento nella direzione corretta
considero il caso della serie calcolata in $x=0$
se eguaglio una generica serie di Fourier calcolata in $0$ con la serie data ho
[tex]\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} cos(0)+b_{n} sin(0) ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}}[/tex]
da cui
[tex]\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}}[/tex]
deducendo che
[tex]a_{0}=0[/tex] pertanto la funzione deve aver valor medio nullo
e che
[tex]a_{n} = \frac{1}{(2n)^{2}}[/tex]
applicando le relative definizioni quindi trovo che
[tex]\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)dx=0 \Rightarrow \int_{0}^{T} f(x)dx=0 \Rightarrow F(T)=F(0)[/tex]
e che
[tex]\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos(\omega_{n} x) dx = \frac{1}{(2n)^{2}} \Rightarrow \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos(\omega_{n} x) dx = \frac{1}{2T(n)^{2}}[/tex]
facendo lo stesso ragionamento nel caso di $x=1$ dovrei aver modo di ricavare la forma di $f(x)$?
considero il caso della serie calcolata in $x=0$
se eguaglio una generica serie di Fourier calcolata in $0$ con la serie data ho
[tex]\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} cos(0)+b_{n} sin(0) ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}}[/tex]
da cui
[tex]\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^{2}}[/tex]
deducendo che
[tex]a_{0}=0[/tex] pertanto la funzione deve aver valor medio nullo
e che
[tex]a_{n} = \frac{1}{(2n)^{2}}[/tex]
applicando le relative definizioni quindi trovo che
[tex]\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)dx=0 \Rightarrow \int_{0}^{T} f(x)dx=0 \Rightarrow F(T)=F(0)[/tex]
e che
[tex]\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos(\omega_{n} x) dx = \frac{1}{(2n)^{2}} \Rightarrow \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos(\omega_{n} x) dx = \frac{1}{2T(n)^{2}}[/tex]
facendo lo stesso ragionamento nel caso di $x=1$ dovrei aver modo di ricavare la forma di $f(x)$?
Si vede che:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}\ \cos (n\pi x)\Bigg|_{x=0}\\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}\ \cos (2n\pi x)\Bigg|_{x=1}
\end{split}
\]
quindi, dette rispettivamente \(f\) e \(g\) le somme delle serie che figurano al secondo e terzo membro della precedente, per un noto teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier (che immagino avrai almeno letto...) hai:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} &= \frac{1}{2}\Big( f(0^+)+f(0^-)\Big)\\
&= \frac{1}{2}\Big( g(1^+)+g(1^-)\Big)\; ,
\end{split}
\]
cosicché per determinare la somma di \(\sum 1/(2n)^2\) basta determinare esplicitamente \(f\) e \(g\).
Per determinare \(f\) e \(g\) ti suggerisco di esprimere i coseni intermini di esponenziali complessi e di manipolare le serie che ottieni per ricondurti a sviluppi in serie noti.
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}\ \cos (n\pi x)\Bigg|_{x=0}\\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}\ \cos (2n\pi x)\Bigg|_{x=1}
\end{split}
\]
quindi, dette rispettivamente \(f\) e \(g\) le somme delle serie che figurano al secondo e terzo membro della precedente, per un noto teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier (che immagino avrai almeno letto...) hai:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2} &= \frac{1}{2}\Big( f(0^+)+f(0^-)\Big)\\
&= \frac{1}{2}\Big( g(1^+)+g(1^-)\Big)\; ,
\end{split}
\]
cosicché per determinare la somma di \(\sum 1/(2n)^2\) basta determinare esplicitamente \(f\) e \(g\).
Per determinare \(f\) e \(g\) ti suggerisco di esprimere i coseni intermini di esponenziali complessi e di manipolare le serie che ottieni per ricondurti a sviluppi in serie noti.
per quanto riguarda l'argomento del coseno della serie calcolata in $1$ ovviamente è tutto chiaro, ma per la serie calcolata in $0$, il fatto che tu abbia posto l'argomento del coseno pari a $ n \pi x$ non è un po' arbitrario?
intendo dire che, essendo moltiplicato per $0$, l'argomento del coseno potrebbe essere qualunque. Quindi perchè prendere $ n \pi x$?
Per comodità visto che poi l'argomento del coseno della seconda serie è $2n \pi x$?
non vedo comunque il motivo di usare Fourier per ricavare la somma della serie.
Avendo la serie di partenza, ne ho calcolato la somma in questo modo
[tex]\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4n^2} = \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2}
= \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n}\right)^{2}[/tex]
dove
[tex]\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n}\right)^{2}[/tex] è una serie notevole e vale $pi^2 /6$
quindi la somma vale $1/4 \cdot pi^2 /6 =pi^2 /24 $, è corretto?
intendo dire che, essendo moltiplicato per $0$, l'argomento del coseno potrebbe essere qualunque. Quindi perchè prendere $ n \pi x$?
Per comodità visto che poi l'argomento del coseno della seconda serie è $2n \pi x$?
non vedo comunque il motivo di usare Fourier per ricavare la somma della serie.
Avendo la serie di partenza, ne ho calcolato la somma in questo modo
[tex]\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4n^2} = \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2}
= \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n}\right)^{2}[/tex]
dove
[tex]\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n}\right)^{2}[/tex] è una serie notevole e vale $pi^2 /6$
quindi la somma vale $1/4 \cdot pi^2 /6 =pi^2 /24 $, è corretto?
"Summerwind78":
per quanto riguarda l'argomento del coseno della serie calcolata in $1$ ovviamente è tutto chiaro, ma per la serie calcolata in $0$, il fatto che tu abbia posto l'argomento del coseno pari a $ n \pi x$ non è un po' arbitrario?
intendo dire che, essendo moltiplicato per $0$, l'argomento del coseno potrebbe essere qualunque. Quindi perchè prendere $ n \pi x$?
Per comodità visto che poi l'argomento del coseno della seconda serie è $2n \pi x$?
Esatto. "Comodità" è la parola d'ordine.
"Summerwind78":
non vedo comunque il motivo di usare Fourier per ricavare la somma della serie.
Avendo la serie di partenza, ne ho calcolato la somma in questo modo
[tex]\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4n^2} = \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2}
= \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n}\right)^{2}[/tex]
dove
[tex]\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n}\right)^{2}[/tex] è una serie notevole e vale $pi^2 /6$
quindi la somma vale $1/4 \cdot pi^2 /6 =pi^2 /24 $, è corretto?
Certo, l'utilità di Fourier non la vedi solo perché già sai che \(\sum_{n=1}^\infty 1/n^2=\pi^2/6\)... Mi verrebbe da chiederti quale dimostrazione conosci di questa relazione (qualcuna che usa le serie di potenze?).
Ad ogni modo, la tecnica delle serie di Fourier consente di fare in modo abbastanza rapido le somme di alcune serie notevoli, come \(\sum_{n=1}^\infty 1/n^4 =\pi^4/90\), ed è una di quelle magnifiche tecniche già usate da Eulero (ad esempio, per calcolare la somma della "serie notevole" di cui sopra).
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