Serie di Fourier
Salve a tutti.
Tempo fa ho ricevuto dal mio professore una spiegazione riguardante la serie di Fourier. Purtroppo, avendo preso appunti in maniera poco precisa non ne ho compreso appieno il significato. Quindi vi sarei molto grato se poteste aiutarmi a sciogliere alcuni dubbi.
Riporto parola per parola la spiegazione che mi è stata data:
Sia f(x) (f continua, per evitare problemi) una funzione integrabile in un intervallo ampio $2\pi$.
Si potrà quindi scrivere il seguente integrale:
$\int_{0}^{2\pi} f(x) dx$
e dato che f è continua allora anche $\int_{0}^{2\pi} |f(x)| dx$ è finito. (*)
Sia $n in NN_0$ considero
$a_n=(1/(\pi))int_{0}^{2\pi} f(x)cos(nx) dx$
dove l'integrale al secondo membro è di sicuro finito in quanto $|cos(nx)f(x)|<=|f(x)|$. (**)
Prendendo poi $b_n=(1/(\pi))int_{0}^{2\pi} f(x)sin(nx) dx$
posso costruire la seguente serie:
$((a_0)/2)+\sum_{n=1}^oo a_n*(cos(nx))+b_n*(sin(nx)) $
....
...
..
.
In pratica ciò che non ho capito sono i punti (*),(**)
Tempo fa ho ricevuto dal mio professore una spiegazione riguardante la serie di Fourier. Purtroppo, avendo preso appunti in maniera poco precisa non ne ho compreso appieno il significato. Quindi vi sarei molto grato se poteste aiutarmi a sciogliere alcuni dubbi.
Riporto parola per parola la spiegazione che mi è stata data:
Sia f(x) (f continua, per evitare problemi) una funzione integrabile in un intervallo ampio $2\pi$.
Si potrà quindi scrivere il seguente integrale:
$\int_{0}^{2\pi} f(x) dx$
e dato che f è continua allora anche $\int_{0}^{2\pi} |f(x)| dx$ è finito. (*)
Sia $n in NN_0$ considero
$a_n=(1/(\pi))int_{0}^{2\pi} f(x)cos(nx) dx$
dove l'integrale al secondo membro è di sicuro finito in quanto $|cos(nx)f(x)|<=|f(x)|$. (**)
Prendendo poi $b_n=(1/(\pi))int_{0}^{2\pi} f(x)sin(nx) dx$
posso costruire la seguente serie:
$((a_0)/2)+\sum_{n=1}^oo a_n*(cos(nx))+b_n*(sin(nx)) $
....
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In pratica ciò che non ho capito sono i punti (*),(**)
Risposte
Basta ricordare il teorema di Weierstrass: essendo \(f\) continua essa è limitata su \([0, 2\pi]\). Ovvero \(\lvert f(x)\rvert \le M\) per qualche costante \(M\). Quindi
\[\int_0^{2\pi} \lvert f(x)\rvert \, dx \le M2\pi, \]
perciò l'integrale è finito e così via.
\[\int_0^{2\pi} \lvert f(x)\rvert \, dx \le M2\pi, \]
perciò l'integrale è finito e così via.
Grazie mille per l'aiuto. Sto preparando Analisi II per ingnegneria elettronica, ma dato che è passato un po' di tempo dall'esame di Analisi I ogni tanto mi capita di avere delle amnesie al riguardo. Dando una rapida ripassata al teorema di Weierstrass ho risolto il mio dubbio.
La (**) è una cavolata, invece: visto che $|\cos\alpha|\le 1$ per definizione, allora $|\cos(nx)\cdot f(x)|\le |f(x)|$
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