Serie di Fourier
Ho capito il procedimento che sta dietro al calcolo dei coefficienti $a_k,b_k$, ma non riesco mai a concludere l'esercizio per bene. Ad esempio in un esercizio sto calcolando il valore di $a_k$ e arrivo a dover studiare il seguente integrale:
$int_(0)^(\pi) -1/k(sinkx)dx=[1/k^2coskx]_(0)^(\pi)=(cosk\pi-1)/k^2$
mentre quando vado a vedere il risultato, nello sviluppo in serie lui mette $sum (cos2kx)/k^2$...
secondo me sto sbagliando qualcosa di base...perchè a prima vista sembrano tranquilli i calcoli...invece quando li svolgo sono lunghissimi...
$int_(0)^(\pi) -1/k(sinkx)dx=[1/k^2coskx]_(0)^(\pi)=(cosk\pi-1)/k^2$
mentre quando vado a vedere il risultato, nello sviluppo in serie lui mette $sum (cos2kx)/k^2$...
secondo me sto sbagliando qualcosa di base...perchè a prima vista sembrano tranquilli i calcoli...invece quando li svolgo sono lunghissimi...
Risposte
Ok, ma l'esercizio completo com'è ?
La sommatoria sembra proprio la somma di Fourier per un certo segnale.
Boh, non si capisce molto bene dove siano i tuoi dubbi ...
La sommatoria sembra proprio la somma di Fourier per un certo segnale.
Boh, non si capisce molto bene dove siano i tuoi dubbi ...
Si hai ragione...è l'ansia pre-esame...
Adesso ci rifletto un pò su e riposto con più calma alcuni esercizi che ho svolto e vediamo se vanno bene!
Adesso ci rifletto un pò su e riposto con più calma alcuni esercizi che ho svolto e vediamo se vanno bene!
Lorin, lo sai che $\cos(k\pi)=(-1)^k$? A quel punto, noterai che vengono due cose diverse, in quello che hai scritto, a seconda che $k$ sia pari o dispari.
eh infatti proprio su questo stavo riflettendo...perchè se ragiono così allora il problema è risolto^^
per sicurezza faccio qualche altro esercizio e poi posto qualcosa...
per sicurezza faccio qualche altro esercizio e poi posto qualcosa...
Ecco l'esercizio che ho provato a fare:
Determinare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)=x^2 , x in (-\pi,\pi]$.
Svolgimento:
Dato che la funzione è pari lo sviluppo sarà $a_o/2+sum_(k=1)^(+oo)a_kcoskx$, con
$a_o=2/\pi int_(0)^(\pi)x^2dx=2/3(\pi)^2 => a_o/2=\pi^2/3$
$a_k=2/\pi int_(0)^(\pi)x^2coskxdx$, integrando per parti (e sperando che i conti siano fatti bene), ottengo:
$a_k=4/k^2cosk\pi=4/k^2(-1)^k$
ora mettendo il tutto nella serie otteniamo: $\pi^2/3+4 sum_(k=1)^(+oo)(-1)^k/k^2coskx$ che posso vedere anche così
$=\pi^2/3+4 sum_(k=1)^(+oo)1/k^2$ giusto!?
Determinare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)=x^2 , x in (-\pi,\pi]$.
Svolgimento:
Dato che la funzione è pari lo sviluppo sarà $a_o/2+sum_(k=1)^(+oo)a_kcoskx$, con
$a_o=2/\pi int_(0)^(\pi)x^2dx=2/3(\pi)^2 => a_o/2=\pi^2/3$
$a_k=2/\pi int_(0)^(\pi)x^2coskxdx$, integrando per parti (e sperando che i conti siano fatti bene), ottengo:
$a_k=4/k^2cosk\pi=4/k^2(-1)^k$
ora mettendo il tutto nella serie otteniamo: $\pi^2/3+4 sum_(k=1)^(+oo)(-1)^k/k^2coskx$ che posso vedere anche così
$=\pi^2/3+4 sum_(k=1)^(+oo)1/k^2$ giusto!?
"Lorin":correttissimo
...ora mettendo il tutto nella serie otteniamo: $\pi^2/3+4 sum_(k=1)^(+oo)(-1)^k/k^2coskx$...
"Lorin":No, e perchè mai?
che posso vedere anche così $=\pi^2/3+4 sum_(k=1)^(+oo)1/k^2$ giusto!?
Dov'è finito il coseno? La serie corretta è esattamente la penultima che hai scritto!
Avevo ragionato sul fatto che $coskx=(-1)^k => (-1)^k(-1)^k=(-1)^2k=1$
non ci può concludere in quel modo?! bisogna mantenere sempre la forma del polinomio trigonometrico?
non ci può concludere in quel modo?! bisogna mantenere sempre la forma del polinomio trigonometrico?
Lorinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$\cos(k\pi)=(-1)^k$, non $\cos(kx)$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ma te possino!!!!!
$\cos(k\pi)=(-1)^k$, non $\cos(kx)$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ma te possino!!!!!
Aeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 
Scusate ragazzi è l'ora...sto da stamattina presto a studiare (colpa del calendario degli esami di quest'anno)
Chiedo umilmente scusa per la distrazione!
Scusate ragazzi è l'ora...sto da stamattina presto a studiare (colpa del calendario degli esami di quest'anno)
Chiedo umilmente scusa per la distrazione!
Lorin, sint'a mè: va t' c'urc'!
hahahhaha....e pure tieni ragione....ja ne faccio un altro paio e poi vado.
Un'ultima domanda: Nel caso dovessi studiare la convergenza della serie che ho appena studiato, posso concludere dicendo che c'è convergenza totale in $RR$ in quanto la funzione di cui ho cercato lo sviluppo è continua in $RR$?
Un'ultima domanda: Nel caso dovessi studiare la convergenza della serie che ho appena studiato, posso concludere dicendo che c'è convergenza totale in $RR$ in quanto la funzione di cui ho cercato lo sviluppo è continua in $RR$?
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