Serie di Fourier

[Webster]

Ho delle difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:"Sviluppare in serie di Fourier le seguenti funzioni definite nell'intervallo $(-pi,pi)$:$f(x)={ ( -2x,-pi

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Lorin1

28 dic 2010, 10:08

Allora, provo io a darti una mano. Piccola premessa, queste cose le sto studiando proprio in questo periodo, quindi non avendo molta esperienza, se qualcosa non ti torna dillo tranquillamente.

Per quanto riguarda la prima funzione, per come è stata definita possiamo dire che è una funzione dispari, quindi nello sviluppo in serie di Fourier i termini $a_k=0 , AAk in NN$, quindi possiamo dire che la serie è uno sviluppo di soli seni. Andiamo a calcolare i coefficienti $b_k$.

$b_k=1/(\pi) int_(-pi)^(pi) f(x)sinkxdx $

ora poichè la funzione è stata definita in un certo modo, spezziamo l'integrale a seconda degli intervalli di definizione della funzione

$ 1/\pi[int_(-pi)^(0) -2xsinkxdx + int_(0)^(pi) 3xsinkxdx] $

e facendo un pò di calcoli dovresti ottenere la forma della serie che desideri.

Spero di non aver detto cavolate!

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ciampax

28 dic 2010, 13:50

@ Lorin: la prima funzione non è dispari. Ti pare che sia verificata la condizione per cui $f(-x)=-f(x)$???

Quello che invece si può dire è che la seconda è pari, e quindi contiene solo i termini in coseno. I coefficienti calcolati da Webster sono giusti: ti faccio solo osservare che [tex]$\cos(n\pi)=(-1)^n$[/tex]. Probabilmente per calcolarli avrai usato la formula di prostaferesi: osserva che in tal caso avrai integrato per parti un termine della forma $x\sin[(n-1)x]$ che, come vedi per $n=1$ è identicamente nullo. Il coefficiente $a_1$ è dato da

[tex]$a_1=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin x\cdot\cos x\ dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(2x)\ dx=-\frac{1}{2}$[/tex]

e quindi la serie di Fourier diventa

[tex]$2\left(1-\frac{1}{2}\cos x+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot\cos(nx)\right)$[/tex]

che adesso risulta scritta bene.

Per la prima serie, invece, basta spezzare gli integrali in questo modo

[tex]$\int_{-\pi}^\pi=\int_{-\pi}^0+\int_0^\pi$[/tex]

usando i due pezzi con i quali viene definita la funzione.

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Lorin1

28 dic 2010, 13:57

Chiedo scusa allora...
Avevo pensato che fosse dispari perchè mi sono fatto fregare dal fatto che il grafico $y=mx$ è simmetrico rispetto all'origine. E a questo punto come si ragiona per la prima funzione?!

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ciampax

28 dic 2010, 13:59

Bisogna calcolare tutti i coefficienti per la prima funzione. Spezzando l'integrale come hai fatto tu per i $b_n$.

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Lorin1

28 dic 2010, 14:21

Capito.
Vorrei però capire perchè la prima funzione non è dispari, perchè forse sto un attimo facendo confusione. grazie!

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ciampax

28 dic 2010, 14:23

Prova a calcolarla in $a$ e $-a$, con $0

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Webster

29 dic 2010, 23:25

Grazie per l'aiuto!

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[Lorin1]

Allora, provo io a darti una mano. Piccola premessa, queste cose le sto studiando proprio in questo periodo, quindi non avendo molta esperienza, se qualcosa non ti torna dillo tranquillamente.

Per quanto riguarda la prima funzione, per come è stata definita possiamo dire che è una funzione dispari, quindi nello sviluppo in serie di Fourier i termini $a_k=0 , AAk in NN$, quindi possiamo dire che la serie è uno sviluppo di soli seni. Andiamo a calcolare i coefficienti $b_k$.

$b_k=1/(\pi) int_(-pi)^(pi) f(x)sinkxdx $

ora poichè la funzione è stata definita in un certo modo, spezziamo l'integrale a seconda degli intervalli di definizione della funzione

$ 1/\pi[int_(-pi)^(0) -2xsinkxdx + int_(0)^(pi) 3xsinkxdx] $

e facendo un pò di calcoli dovresti ottenere la forma della serie che desideri.

Spero di non aver detto cavolate!

[ciampax]

@ Lorin: la prima funzione non è dispari. Ti pare che sia verificata la condizione per cui $f(-x)=-f(x)$???

Quello che invece si può dire è che la seconda è pari, e quindi contiene solo i termini in coseno. I coefficienti calcolati da Webster sono giusti: ti faccio solo osservare che [tex]$\cos(n\pi)=(-1)^n$[/tex]. Probabilmente per calcolarli avrai usato la formula di prostaferesi: osserva che in tal caso avrai integrato per parti un termine della forma $x\sin[(n-1)x]$ che, come vedi per $n=1$ è identicamente nullo. Il coefficiente $a_1$ è dato da

[tex]$a_1=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin x\cdot\cos x\ dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(2x)\ dx=-\frac{1}{2}$[/tex]

e quindi la serie di Fourier diventa

[tex]$2\left(1-\frac{1}{2}\cos x+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-1}\cdot\cos(nx)\right)$[/tex]

che adesso risulta scritta bene.

Per la prima serie, invece, basta spezzare gli integrali in questo modo

[tex]$\int_{-\pi}^\pi=\int_{-\pi}^0+\int_0^\pi$[/tex]

usando i due pezzi con i quali viene definita la funzione.

[Lorin1]

Chiedo scusa allora...
Avevo pensato che fosse dispari perchè mi sono fatto fregare dal fatto che il grafico $y=mx$ è simmetrico rispetto all'origine. E a questo punto come si ragiona per la prima funzione?!

[ciampax]

Bisogna calcolare tutti i coefficienti per la prima funzione. Spezzando l'integrale come hai fatto tu per i $b_n$.

[Lorin1]

Capito.
Vorrei però capire perchè la prima funzione non è dispari, perchè forse sto un attimo facendo confusione. grazie!

[ciampax]

Prova a calcolarla in $a$ e $-a$, con $0

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[Webster]

Grazie per l'aiuto!