Serie di Fourier

[miles_davis1]

Mi potreste dare una mano con questo esercizio?

Si determini l'insieme di convergenza per $x in [-1,1]$ della serie
$sum_(n=1) x^n/n sin nx$
e se ne calcoli la somma per $x=+-1$
[Suggerimento: calcolare le serie di Fourier delle funzioni $f, g$ di periodo $2pi$ determinate da $f(x)=x$ con $x in [-pi, pi)$, $g(x)=pi-x$ con $x in [0,2pi)$]

P.S.: Ovviamente la serie è da $1$ a $oo$, non sapevo come si scrivesse!!!

[Sk_Anonymous]

La serie di funzioni…

$sum_(n=1)^(oo) x^n*sin (nx)/n$ (1)

... è convergente per $|x|<1$ e divergente per |$x$|>1. Detto $a_n$ il termine generale della (1) infatti per $|x|<1$ risulta $|a_n|<|x^n|$ e quindi la (1) è convergente. Per $|x|>1$ invece a partire da un certo $n$ è $|a_n|>1/2*|x^n|$ e quindi la (1) è divergente. La (1) poi risulta convergente anche per $x=+-1$. Per $x=1$ la (1) diviene…

$S=sum_(n=1)^(oo) sin n/n$ (2)

In https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16229 si è visto che per la funzione $f(x)=x-1/2$, $0
$f(x)=-1/pi*sum_(n=1)^(oo) (sin (2pi*n*x))/n$ (3)

… e pertanto risulta…

$-1/pi*sum_(n=1)^(oo) sin n/n= f(1/(2pi))$ (4)

Per $x=1$ la (1) diviene invece…

$S= sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*sin n/n$ (5)

E’ abbastanza agevole verificare che la funzione $g(x)=x$, $-1/2
$g(x)= 1/pi*sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*(sin (2*pi*n*x))/n$ (6)

… e pertanto risulta…

$1/pi*sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*sin n/n= g(1/(2pi))$ (7)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature