Serie di Fourier

[enigmagame]

Ciao a tutti!!! Guardate questo esercizio...
Determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sumakcos(kx)+bksin(kx)$ che converga alla funzione $f(x)=(e^x+e^(-x))/2$ sull'intervallo $[-pi,pi]$.
Secondo voi per risolverlo devo sostituire alla funzione che mi è stata data $cosh(x)$ o risolvere i vari integrali normalmente?

[_nicola de rosa]

"enigmagame":Ciao a tutti!!! Guardate questo esercizio...
Determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sumakcos(kx)+bksin(kx)$ che converga alla funzione $f(x)=(e^x+e^(-x))/2$ sull'intervallo $[-pi,pi]$.
Secondo voi per risolverlo devo sostituire alla funzione che mi è stata data $cosh(x)$ o risolvere i vari integrali normalmente?

risolvi i vari integrali
$a0 = 1/pi int_-pi^pif(x)dx$
$ak = 1/pi int_-pi^pif(x)cos(kx)dx$
$bk = 1/pi int_-pi^pif(x)sin(kx)dx$
$a0 = 1/pi int_-pi^pi((e^x+e^-x)/2)dx$=$1/(2pi)(e^x-e^-x)_{-pi}^{pi}=2/pi*sinh(pi)$
$ak = 1/pi int_-pi^pif(x)cos(kx)dx$=$2[kcosh(pi)sen(kpi)+cos(kpi)senh(pi)]/(pi(1+k^2))=(2*(-1)^k)/(pi(1+k^2))*senh(pi)$ (perchè $sen(kpi)=0$)
$bk = 1/pi int_-pi^pif(x)sin(kx)dx=0$

A meno di errori

[Luca.Lussardi]

Io invece cercherei lo sviluppo di Fourier di $e^x$, manipolando quello dovresti arrivare più facilmente alla soluzione.

[enigmagame]

"nicasamarciano":risolvi i vari integrali

Ok! Allora per il coefficiente $a0$ nessun problema. Potresti farmi vedere più in dettaglio la risoluzione di $ak$? Grazie

[_nicola de rosa]

"enigmagame":[quote="nicasamarciano"]risolvi i vari integrali

Ok! Allora per il coefficiente $a0$ nessun problema. Potresti farmi vedere più in dettaglio la risoluzione di $ak$? Grazie[/quote]
$ak = 1/pi int_-pi^pi((e^x+e^-x)/2)cos(kx)dx=a_(k1)+a_(k2)$
con $a_(k1)=1/(2pi)int_{-pi}^{pi}e^xcos(kx)dx$ e $a_(k2)=1/(2pi)int_{-pi}^{pi}e^-xcos(kx)dx$
Ora $inte^xcos(kx)dx=e^xcos(kx)+kinte^xsen(kx)dx=e^xcos(kx)+ke^xsen(kx)-k^2inte^xcos(kx)dx$ per cui
$inte^xcos(kx)dx=(e^xcos(kx)+ke^xsen(kx))/(k^2+1)$ e infine
$a_(k1) =1/(2pi) int_-pi^pie^xcos(kx)dx=1/(2pi)(e^(pi)cos(kpi)-e^(-pi)cos(kpi))/(k^2+1)$=
$cos(kpi)*(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))=(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))=((-1)^ksenh(pi))/(pi(k^2+1))$
Analogamente
$a_(k2)=1/(2pi)int_-pi^pie^(-x)cos(kx)dx=1/(2pi)[-e^(-x)cos(kx)]_{-pi}^{pi} -k/(2pi)inte^(-x)sen(kx)dx$=
$1/(2pi)[-e^(-x)cos(kx)]_{-pi}^{pi}+1/(2pi)[ke^xsen(kx)]_{-pi}^{pi} -1/(2pi)k^2inte^(-x)cos(kx)dx$
per cui
$a_(k2)=[-e^(-x)cos(kx)]_{-pi}^{pi}/(2pi(k^2+1))+[ke^xsen(kx)]_{-pi}^{pi}/(2pi(k^2+1))$=
$(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))$ per cui $a_(k1)=a_(k2)=(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))=((-1)^ksenh(pi))/(pi(k^2+1))$ per cui $a_k=2a_(k1)=2a_(k2)=(2*(-1)^ksenh(pi))/(pi(k^2+1))$
Per $b_k$ invece si ha
$b_k=b_(k1)+b_(k2)$, ma $b_(k1)=-b_(k2)$ per cui $b_k=0$


Una strada alternativa è trasformare il tuo segnale $x(t)=cosh(t)Pi(t/(2pi))$ nel dominio della frequenza, facendo prima la derivata di $x(t)$ sfruttando le derivate nel senso delle distribuzioni e poi applicando la proprietà che una derivazione nel tempo è il prodotto $jomega*X(omega)$ nel dominio della frequenza ed applicare la prima formula del campionamento. Puoi usarla come controprova se vuoi.

Cosi facendo la trasformata di Fourier del segnale $x(t)=cosh(t)Pi(t/(2pi))=cosh(t)[u(t+pi)-u(t-pi)]$ periodico di $2pi$ è:
$X(omega)=(2cos(omega*pi)senh(pi)+j2omega*sen(omega*pi)cosh(pi))/(1+omega^2)$ che per il primo teorema del campionamento diventa
$c_k=1/(2pi)*(2cos(kpi)senh(pi)+j2ksen(kpi)cosh(pi))/(1+k^2)=(cos(kpi)senh(pi))/(pi(1+k^2))$=$((-1)^ksenh(pi))/(pi(1+k^2))$. Ora si nota che $c_k=c_(-k)$ per cui
$a_k=c_k+c_-k=2*c_k=2*c_(-k)=2((-1)^ksenh(pi))/(pi(1+k^2))$
$b_k=j(c_k-c_-k)=0$
OK?

[Kroldar]

Io invece sfrutterei direttamente il primo teorema di campionamento e calcolerei la serie di Fourier tramite la trasformata (notare che derivandola due volte, la funzione torna alla sua forma originale a meno di impulsi e derivate prime di impulsi)... credo sia molto più semplice, veloce ed elegante

[enigmagame]

Ok, grazie mille !!!
Per quanto riguarda ciò che ha detto Kroldar e la seconda soluzione dell'esercizo nicasamarciano, l'esame è di Analisi II, quindi lo devo per forza risolvere trovando i singoli coefficienti. Potrei risolverlo con quell'altro metodo ad esempio per Sistemi e Segnali.
Grazie mille comunque a tutti !

[enigmagame]

Ritorno su questo post dopo qualche giorno per un dubbio... precisamente il reply numero 5 postato da nicasamarciano.
Alla 3 riga (quelle scritte da lui) risolvi l'integrale per parti, due volte. Poi giungi alla conclusione della riga sotto.
Purtroppo non ho ben capito il passaggio...

[_nicola de rosa]

"enigmagame":Ritorno su questo post dopo qualche giorno per un dubbio... precisamente il reply numero 5 postato da nicasamarciano.
Alla 3 riga (quelle scritte da lui) risolvi l'integrale per parti, due volte. Poi giungi alla conclusione della riga sotto.
Purtroppo non ho ben capito il passaggio...

Te le riscrivo
$ak = 1/pi int_-pi^pi((e^x+e^-x)/2)cos(kx)dx=a_(k1)+a_(k2)$
con $a_(k1)=1/(2pi)int_{-pi}^{pi}e^xcos(kx)dx$ e $a_(k2)=1/(2pi)int_{-pi}^{pi}e^-xcos(kx)dx$
Ora $inte^xcos(kx)dx=e^xcos(kx)+kinte^xsen(kx)dx=e^xcos(kx)+ke^xsen(kx)-k^2inte^xcos(kx)dx$

per cui
puoi notare come siamo ritornati all'integrale di partenza. Infatti ci ritroviamo di nuovo $-k^2inte^xcos(kx)dx$. Portando tale addendo a primo membro otteniamo
$(1+k^2)*inte^xcos(kx)dx=e^xcos(kx)+ke^xsen(kx)$ da cui $inte^xcos(kx)dx=(e^xcos(kx)+ke^xsen(kx))/(k^2+1)$

$inte^xcos(kx)dx=(e^xcos(kx)+ke^xsen(kx))/(k^2+1)$ e infine
$a_(k1) =1/(2pi) int_-pi^pie^xcos(kx)dx=1/(2pi)(e^(pi)cos(kpi)-e^(-pi)cos(kpi))/(k^2+1)$=
$cos(kpi)*(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))=(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))=((-1)^ksenh(pi))/(pi(k^2+1))$
Questo vale perche $sen(kpi)=0 AA kin ZZ$, per cui deve essere valutato solo $cos(kx)$ agli estremi e va ricordato che $cos(kpi)=cos(-kpi)$
Analogamente
$a_(k2)=1/(2pi)int_-pi^pie^(-x)cos(kx)dx=1/(2pi)[-e^(-x)cos(kx)]_{-pi}^{pi} -k/(2pi)inte^(-x)sen(kx)dx$=
$1/(2pi)[-e^(-x)cos(kx)]_{-pi}^{pi}+1/(2pi)[ke^xsen(kx)]_{-pi}^{pi} -1/(2pi)k^2inte^(-x)cos(kx)dx$
per cui
$a_(k2)=[-e^(-x)cos(kx)]_{-pi}^{pi}/(2pi(k^2+1))+[ke^xsen(kx)]_{-pi}^{pi}/(2pi(k^2+1))$=
$(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))$, facendo gli stessi passaggi fatti sopra.Per cui $a_(k1)=a_(k2)=(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(2pi(k^2+1))=((-1)^ksenh(pi))/(pi(k^2+1))$ per cui $a_k=2a_(k1)=2a_(k2)=(2*(-1)^ksenh(pi))/(pi(k^2+1))$

[enigmagame]

Chiarissimo !!!!
Grazie mille...