Serie di Fourier
Ciao A tutti!
non riesco a capire come si debba scrivere la serie di Fourier della funzione di periodo 2$pi$ con $f(x)=e^x$ con x appartenente all'intervallo [-$pi$,$pi$].
se qualcuno potesse spiegarmi gentilmente lo svolgimento, ne sarei grato.
grazie in anticipo.
Pole
non riesco a capire come si debba scrivere la serie di Fourier della funzione di periodo 2$pi$ con $f(x)=e^x$ con x appartenente all'intervallo [-$pi$,$pi$].
se qualcuno potesse spiegarmi gentilmente lo svolgimento, ne sarei grato.
grazie in anticipo.
Pole
Risposte
Ovviamente intendi la replica periodica di periodo $2pi$ della funzione da te citata.
Devi operare così: trova la trasformata di Fourier di quella funzione e dopo, tramite il I teorema di campionamento, calcola i coefficienti della serie di Fourier.
Devi operare così: trova la trasformata di Fourier di quella funzione e dopo, tramite il I teorema di campionamento, calcola i coefficienti della serie di Fourier.
"PoLe":
Ciao A tutti!
non riesco a capire come si debba scrivere la serie di Fourier della funzione di periodo 2$pi$ con $f(x)=e^x$ con x appartenente all'intervallo [-$pi$,$pi$].
se qualcuno potesse spiegarmi gentilmente lo svolgimento, ne sarei grato.
grazie in anticipo.
Pole
Ecco in generale la serie di Fourier di un segnale periodico di $2pi$:
$(a0)/2+sum_(k=1)^(+infty)akcos(kx)+bksin(kx)$
$a0 = 1/pi int_-pi^pif(x)dx$
$ak = 1/pi int_-pi^pif(x)cos(kx)dx$
$bk = 1/pi int_-pi^pif(x)sin(kx)dx$
Nel tuo caso $a0=1/pi int_-pi^pie^xdx=((e^pi-e^(-pi))/pi)$
$ak = 1/pi int_-pi^pie^xcos(kx)dx$
Ora $inte^xcos(kx)dx=e^xcos(kx)+kinte^xsen(kx)dx=e^xcos(kx)+ke^xsen(kx)-k^2inte^xcos(kx)dx$ per cui
$inte^xcos(kx)dx=(e^xcos(kx)+ke^xsen(kx))/(k^2+1)$ e infine
$ak = 1/pi int_-pi^pie^xcos(kx)dx=(e^(pi)cos(kpi)-e^(-pi)cos(kpi))/(pi(k^2+1))=cos(kpi)*(e^pi-e^-pi)/(pi(k^2+1))=(-1)^k(e^pi-e^-pi)/(pi(k^2+1))$
$bk = 1/pi int_-pi^pie^xsin(kx)dx$
Ora $inte^xsin(kx)dx=e^xsin(kx)-kinte^xcos(kx)dx=e^xsin(kx)-ke^xcos(kx)-k^2inte^xsin(kx)dx$ per cui
$inte^xsin(kx)dx=(e^xsin(kx)-ke^xcos(kx))/(1+k^2)$ e infine
$bk = 1/pi int_-pi^pie^xsin(kx)dx=-kcos(kpi)*(e^pi-e^-pi)/(pi(1+k^2))=k(-1)^(k+1)(e^pi-e^-pi)/(pi(1+k^2))$$
Salvo errori...controlla. Questo è il procedimento.Ciao
Propongo una soluzione alternativa che a mio avviso snellisce i calcoli...
$x(t) = e^t [u(t+pi)-u(t-pi)]$
Deriviamo nel senso delle distribuzioni, risulta:
$x'(t) = x(t) + e^(-pi) delta(t+pi) - e^(pi) delta (t-pi)$
Trasformiamo ambo i membri:
$jomegaX(omega) = X(omega) + e^(-pi) e^(jomegapi) - e^(pi) e^(-jomegapi) => X(omega) = (e^(-pi) e^(jomegapi) - e^(pi) e^(-jomegapi))/(jomega-1)$
Indicando con $c_k$ i coefficienti della serie esponenziale di Fourier, dal primo teorema di campionamento risulta:
$c_k = ((e^(pi) - e^(-pi)) * (-1)^k)/(2pi * (1-jk)$
A questo punto è banale passare dalla serie esponenziale a quella trigonometrica ricordando che:
$a_k = c_k + c_(-k)$
$b_k = j(c_k - c_(-k))$
$x(t) = e^t [u(t+pi)-u(t-pi)]$
Deriviamo nel senso delle distribuzioni, risulta:
$x'(t) = x(t) + e^(-pi) delta(t+pi) - e^(pi) delta (t-pi)$
Trasformiamo ambo i membri:
$jomegaX(omega) = X(omega) + e^(-pi) e^(jomegapi) - e^(pi) e^(-jomegapi) => X(omega) = (e^(-pi) e^(jomegapi) - e^(pi) e^(-jomegapi))/(jomega-1)$
Indicando con $c_k$ i coefficienti della serie esponenziale di Fourier, dal primo teorema di campionamento risulta:
$c_k = ((e^(pi) - e^(-pi)) * (-1)^k)/(2pi * (1-jk)$
A questo punto è banale passare dalla serie esponenziale a quella trigonometrica ricordando che:
$a_k = c_k + c_(-k)$
$b_k = j(c_k - c_(-k))$
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