Serie di Fourier

[Intermat]

Salve a tutti, volevo chiedervi, se fosse possibile, di spiegarmi il perché $a_0=0$ (almeno così mi sembra dalla soluzione) in questo esercizio.

In pratica ho la funzione $2pi$ periodica che in $[- oo, + oo]$ coincide con:
$f(x)= pi * sign(x)$
e la voglio sviluppare in serie di Fourier.

Io ho fatto così:

1) Noto che $f(x)$ è dispari e quinidi $a_k =0$ (domanda: da qui posso concludere che $a_0=0$, se si, perché?)

2) Calcolo il coefficiente $b_k= ()/([||sen(kx)||_{L^2 [- pi, + pi]}^{2}])= 1/||sen(kx)||^2 * int_{- pi}^{pi} f(x) * sen(kx) dx$

3) A questo punto mi calcolo $||sen(kx)||_{L^2 [- pi, + pi]}^{2}= pi$

4)Calcolo $int_{- pi}^{pi} f(x) * sen(kx) dx= 2* int_{0}^{pi} pi * sen(kx) dx= 2 * pi * [(1-(-1)^k)/k]$

5) Dunque ho: $b_k= ()/([||sen(kx)||_(L^2 [- pi, + pi])]^2)= 1/||sen(kx)||^2 * int_{- pi}^{pi} f(x) * sen(kx) dx=2/pi * pi * [(1-(-1)^k)/k]= 2 * [(1-(-1)^k)/k] $

Ora io calcolerei: $a_0 = ()/[||1/2||_{L^2[-pi, +pi]}^{2})=2/pi * 1/2 int_{-pi}^{pi} f(x) dx=1/pi * 2 int_{0}^{pi} pi dx= 2 x|_{0}^{pi}=2 pi$

Perché è sbagliato?

La serie, risultante dovrebbe essere, dunque: $ S(x)= 2* sum_{k=1}^{+ oo} (1- (-1)^k)/k * sin (kx)$

[dan952]

$a_0=0$
Attento ai segni

[Intermat]

"dan95":$a_0=0$
Attento ai segni

Risolto...mi ero perso la funzione segno.

Alla fine avrei dovuto scrivere:

$a_0=1/pi * int_{-pi}^{pi} f(x)*sgn(x)dx= 1/pi * [int_{-pi}^{0} -pi dx + int_{0}^{pi} pi dx]= 1/pi * [(- pi*x|_{-pi}^{0}) +pi*x|_{0}^{pi}]= 1/pi* [pi^2 - pi^2]=0$

Grazie per avermi fatto notare l'errore!