Serie di Fourier
Salve a tutti avrei bisogno di un consiglio su un esercizio.
Sia u una funzione di classe $C^1$ in $[0,1]$ tale che $u(0)=u(1)=0$.
a) Mostrare che $u$ può essere prolungata in una funzione dispari $U$ di classe $C^1$ in $[-1,1]$.
b) Verificare che $U(-1)=U(1)$. Cosa si può dire sullo sviluppo in serie di Fourier di $U$ ?
c) Mostrare che $u$ ammette lo sviluppo in serie seguente
$u(x)=\sum_{n=1}^\{+infty}\beta_nsin(n\pix)$
a)La serie dispari che risulta dal prolungamento di $u$ é
$U(x)=\{(u(x), 0<=x<=1),(-u(-x), -1<=x<0):}$
b)$U(-1)=U(1)=0$. Posso dire che essendo la funzione dispari sarà una serie di soli seni.
c)Serie di Fourier
$f(x)=1/2\alpha_0+\sum_{n=1}^\{+infty}\beta_ncos(n\pix)+\sum_{n=1}^\{+infty}\beta_nsin(n\pix)$
Con $\alpha_n=1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(x) dx$ e $\beta_n=1/\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)sin(x) dx$
Tutte le $\alpha_n$ sono nulle in quanto integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico quindi di conseguenza abbiamo solo la serie di seni.
E' giusta come risoluzione o manca qualcosa ?
Grazie in anticipo
Sia u una funzione di classe $C^1$ in $[0,1]$ tale che $u(0)=u(1)=0$.
a) Mostrare che $u$ può essere prolungata in una funzione dispari $U$ di classe $C^1$ in $[-1,1]$.
b) Verificare che $U(-1)=U(1)$. Cosa si può dire sullo sviluppo in serie di Fourier di $U$ ?
c) Mostrare che $u$ ammette lo sviluppo in serie seguente
$u(x)=\sum_{n=1}^\{+infty}\beta_nsin(n\pix)$
a)La serie dispari che risulta dal prolungamento di $u$ é
$U(x)=\{(u(x), 0<=x<=1),(-u(-x), -1<=x<0):}$
b)$U(-1)=U(1)=0$. Posso dire che essendo la funzione dispari sarà una serie di soli seni.
c)Serie di Fourier
$f(x)=1/2\alpha_0+\sum_{n=1}^\{+infty}\beta_ncos(n\pix)+\sum_{n=1}^\{+infty}\beta_nsin(n\pix)$
Con $\alpha_n=1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(x) dx$ e $\beta_n=1/\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)sin(x) dx$
Tutte le $\alpha_n$ sono nulle in quanto integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico quindi di conseguenza abbiamo solo la serie di seni.
E' giusta come risoluzione o manca qualcosa ?
Grazie in anticipo
Risposte
a) e b) vanno bene. Nella c) però ti chiede lo sviluppo di $u(x)$ e, a priori, non sai se essa sia dispari.
Quello che devi sfruttare è lo sviluppo di $U(x)$ e collegarlo a quello di $u(x)$. E' vero che $U$ grande si sviluppa in soli seni, ma $u$?
Quello che devi sfruttare è lo sviluppo di $U(x)$ e collegarlo a quello di $u(x)$. E' vero che $U$ grande si sviluppa in soli seni, ma $u$?
Grazie della risposta, mi daresti un piccolo suggerimento per legare $u$ e $U$ ?
Se indichi con $a_n, b_n$i coefficienti di $U$ e con $\alpha_n,\ \beta_n$ quelli di $u$, usando le loro espressioni esplicite e l'espressione di $U$ tramite $u$ non dovresti avere grossi problemi a capire come sono collegati tra loro. A quel punto, ricorda che $a_n=0,\ b_n\ne 0$ per quello che si diceva riguardo $U$ e dovresti determinare agevolmente i coefficienti per $u$.
$a_n=\int_-1^1U(x)cos(n\pix)dx=-\int_-1^0u(-x)cos(n\pix)dx+\int_0^1u(x)cos(n\pix)dx=0$
$\alpha_n=\int_0^1u(x)cos(n\pix)dx$
Quindi
$-\int_-1^0u(-x)cos(n\pix)dx+\alpha_n=0$
$+\alpha_n=\int_-1^0u(-x)cos(n\pix)dx$
Ora come faccio a dimostrare che l'integrale è nullo ?
$\alpha_n=\int_0^1u(x)cos(n\pix)dx$
Quindi
$-\int_-1^0u(-x)cos(n\pix)dx+\alpha_n=0$
$+\alpha_n=\int_-1^0u(-x)cos(n\pix)dx$
Ora come faccio a dimostrare che l'integrale è nullo ?
A cosa è uguale l'integrale a destra, se poni $t=-x$?
$\alpha_n=-\int_0^1u(t)cos(n\pit)dt$
Quindi
$\alpha_n=\int_0^1u(x)cos(n\pix)dx=-\int_0^1u(t)cos(n\pit)dt$
Per essere verificata questa uguaglianza bisogna che $\alpha_n=0$
Giusto ?
Quindi
$\alpha_n=\int_0^1u(x)cos(n\pix)dx=-\int_0^1u(t)cos(n\pit)dt$
Per essere verificata questa uguaglianza bisogna che $\alpha_n=0$
Giusto ?
Esatto.
Grazie mille per la tua infinita disponibilità !!!
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