Serie di Fourier

[valesyle92]

data la funzione $f(x) =  pi /2 - |x| $ per $-pi<=x<=pi$ si dica se la serie di Fourier della funzione converge puntualmente o uniformemente.

Come posso procedere?? Vi ringrazio molto

[Quinzio]

E' molto semplice qui...
Se la funzione è continua, la sua serie di Fourier converge uniformemente, altrimenti se ci sono degli "scalini", è ovvio che può solo avere la convergenza puntuale ma non quella uniforme.

[valesyle92]

però tu hai dedotto che e' continua sapendo il grafico della funzione? cioè prolungandola oltre l'intervallo detto sopra... se io ho ad esempio la funzione $|x|( |pi| - |x|) $ come faccio a sapere se e' continua oppure no e quindi dire la convergenza?

[Quinzio]

Si tratta di fare un piccolo studio della funzione, prolungandola e vedere se è continua.
Qui c'è un riepilogo della teoria, per riferimento:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... urier2.pdf

[valesyle92]

Grazie mille !!!

[dissonance]

"Quinzio":E' molto semplice qui...
Se la funzione è continua, la sua serie di Fourier converge uniformemente, altrimenti se ci sono degli "scalini", è ovvio che può solo avere la convergenza puntuale ma non quella uniforme.

A essere pignoli, la continuità non basta, per avere la convergenza uniforme ci vuole la classe \(C^1\) almeno a tratti. "A tratti" significa che la funzione deve essere continua in tutti i punti e derivabile con continuità tranne al più in un numero finito di punti in cui la derivata ha un salto.

Attenzione però perché questi sono teoremi non banali. In questo esercizio si può concludere che la convergenza non è uniforme senza richiamare tanta teoria, ma semplicemente osservando che se una serie di funzioni continue converge uniformemente, allora il limite deve essere una funzione continua.