Serie di Fourier
Ho il seguente esercizio:
Data la funzione f(x)=$x^4$ con $x in [-pi,pi)$ si estenda f a R in modo che diventi $2 pi$-periodica.
1- Determinare la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza puntuale ed uniforme
2- Ricordando che $ sum_(n = 1)^∞1/n^2=pi^2/6 $ calcolare $ sum_(n = 1)^∞1/n^4 $
Allora, iniziando dal primo punto mi calcolo la serie di Fourier..
Essendo f una funzione pari, posso immediatamente dire che i termini $b_k$ della serie sono uguali a 0 e perciò non mi resta che calcolarmi $a_0$ e gli $a_k$ ora.. $a_0$ mi risulta $2*pi^4/5$ e per gli $a_k$ devo risolvere quest'integrale:
$ 2/piint_(0)^(pi) x^4cos (kx) dx $
questo lo posso solamente rivolvere per parti?
Data la funzione f(x)=$x^4$ con $x in [-pi,pi)$ si estenda f a R in modo che diventi $2 pi$-periodica.
1- Determinare la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza puntuale ed uniforme
2- Ricordando che $ sum_(n = 1)^∞1/n^2=pi^2/6 $ calcolare $ sum_(n = 1)^∞1/n^4 $
Allora, iniziando dal primo punto mi calcolo la serie di Fourier..
Essendo f una funzione pari, posso immediatamente dire che i termini $b_k$ della serie sono uguali a 0 e perciò non mi resta che calcolarmi $a_0$ e gli $a_k$ ora.. $a_0$ mi risulta $2*pi^4/5$ e per gli $a_k$ devo risolvere quest'integrale:
$ 2/piint_(0)^(pi) x^4cos (kx) dx $
questo lo posso solamente rivolvere per parti?
Risposte
Sì, è la cosa più veloce, anche se ti verranno fuori un po' di pezzi.