Serie di Fourier

[nonemaitroppotardi1]

Salve a tutti!
Siccome ho arrugginito le mie vecchie conoscenze in matematica, avrei bisogno del vostro aiuto per capire questa uguaglianza:



\[x(t)=a_0\sum_{k=1}^\infty a_k cos(2\pi kt/T) + b_k sin(2\pi kt/T)= \sum_{k=-\infty}^\infty x_k e^{j2\pi kt/T}\]

Sono arrivato a capire che:

\[ a_k cos(2\pi kt/T)=\frac{a_k}{2}(e^{j2\pi kt/T} + e^{-j2\pi kt/T})\]

\[ b_k sin(2\pi kt/T)=\frac{-jb_k}{2}(e^{j2\pi kt/T} - e^{-j2\pi kt/T})\]

...e qui mi sono arenato!
Attendo con fiducia suggerimenti!

[ciampax]

Prova a sommare, raccogliere le potenze simili e osserva che prendendo le $k$ negative puoi ottenere sia gli esponenti positivi che quelli negativi, scrivendo solo un tipo di esponenziale.

[nonemaitroppotardi1]

Intanto grazie per la risposta.

...allora, provo a fare un passettino avanti:

sommando membro a membro, salvo imprecisioni,

\[ a_k cos(2\pi kt/T) + b_k sin(2\pi kt/T) = \frac{a_k-jb_k}{2} e^{j2\pi kt/T} + \frac{a_k+jb_k}{2} e^{-j2\pi kt/T}\]

ma da questa non riesco a "vedere" quest'uguaglianza:

\[ x(t)=a_0\sum_{k=1}^\infty (\frac{a_k-jb_k}{2} e^{j2\pi kt/T} + \frac{a_k+jb_k}{2} e^{-j2\pi kt/T}) = \sum_{k=-\infty}^\infty x_k e^{j2\pi kt/T} \]

Penso di aver capito il ragionamento, ma non mi trovo con quel segno + al coefficiente \(jb_k...\)

[ciampax]

Dovresti ricordare (cosa che hai omesso) che $x_{-k}=\bar{x_k}$.