Serie di Fourier
Devo risolvere questo esercizio riguardante le serie di fourier:
data la funzione
$ f(x)={ ( -pi/2, 0< x<=pi/2 ),(x-pi, pi/2< x< pi ):} $
estesa dispari a $ [-pi, 0] $ e quindi 2-periodica in R.
Determinare la serie di Fourier associata a tale funzione e discuterne la convergenza puntuale e uniforme.
Allora innanzitutto estendo dispari la funzione e ottengo una funzione continua tra 0 e 2 pigreco e con una discontinuità di prima specie in 0
Poi osservo che è una funzione dispari, per cui sono nulli i coefficenti ak (quelli con coseno per capirci), quindi restano solo da calcolare quelli con il seno
Inoltre la funzione da integrare è pari (prodotto di due funzioni dispari) per cui posso integrare da 0 a pi greco
$ 2/(2pi)*2int_(0)^(pi) f(x)sin(nx) dx =2/(pi)(int_(0)^(pi/2)-pi/2sin(nx)dx+int_(pi/2)^(pi) (x-pi)sin(nx)dx)= $ $ =2/pi(pi/(2n)(cos(npi/2)-1)+int_(pi/2)^(pi)xsin(nx)dx-int_(pi/2)^(pi)pisin(nx)dx= $ $ 2/pi(pi/(2n)cos(npi)/2-pi/(2n)+(-1/n(cosnpi)-cos((npi)/2)+1/nint_(pi/2)^(pi)cos(nx) dx)+ $ $ pi/n(cos(npi)-cos((npi)/2)))= $ $ 2/pi(pi/(2n)cos((npi)/2)-pi/(2n)-pi/ncos(npi)+pi/(2n)cos((npi)/2)-1/n^2sin((npi)/2)+pi/ncos(npi)-pi/ncos((npi)/2)) $ $ 2/pi(-pi/(2n)-1/n^2sin((npi)/2))=-1/n-1/(pin^2)sin((npi)/2) $
ottengo la serie di Fourier di f(x) $ -sum1/n-1/pisum(-1)^k/(2k+1)^2 $
osservando la funzione vedo che converge puntualmente a f(x) in ogni punto a eccezione di quelli con $ kpi $ dove converge a $ 0 $, inoltre converge uniformemente in tutti gli intervalli tra $ [0+alpha , 2pi-alpha ] $
data la funzione
$ f(x)={ ( -pi/2, 0< x<=pi/2 ),(x-pi, pi/2< x< pi ):} $
estesa dispari a $ [-pi, 0] $ e quindi 2-periodica in R.
Determinare la serie di Fourier associata a tale funzione e discuterne la convergenza puntuale e uniforme.
Allora innanzitutto estendo dispari la funzione e ottengo una funzione continua tra 0 e 2 pigreco e con una discontinuità di prima specie in 0
Poi osservo che è una funzione dispari, per cui sono nulli i coefficenti ak (quelli con coseno per capirci), quindi restano solo da calcolare quelli con il seno
Inoltre la funzione da integrare è pari (prodotto di due funzioni dispari) per cui posso integrare da 0 a pi greco
$ 2/(2pi)*2int_(0)^(pi) f(x)sin(nx) dx =2/(pi)(int_(0)^(pi/2)-pi/2sin(nx)dx+int_(pi/2)^(pi) (x-pi)sin(nx)dx)= $ $ =2/pi(pi/(2n)(cos(npi/2)-1)+int_(pi/2)^(pi)xsin(nx)dx-int_(pi/2)^(pi)pisin(nx)dx= $ $ 2/pi(pi/(2n)cos(npi)/2-pi/(2n)+(-1/n(cosnpi)-cos((npi)/2)+1/nint_(pi/2)^(pi)cos(nx) dx)+ $ $ pi/n(cos(npi)-cos((npi)/2)))= $ $ 2/pi(pi/(2n)cos((npi)/2)-pi/(2n)-pi/ncos(npi)+pi/(2n)cos((npi)/2)-1/n^2sin((npi)/2)+pi/ncos(npi)-pi/ncos((npi)/2)) $ $ 2/pi(-pi/(2n)-1/n^2sin((npi)/2))=-1/n-1/(pin^2)sin((npi)/2) $
ottengo la serie di Fourier di f(x) $ -sum1/n-1/pisum(-1)^k/(2k+1)^2 $
osservando la funzione vedo che converge puntualmente a f(x) in ogni punto a eccezione di quelli con $ kpi $ dove converge a $ 0 $, inoltre converge uniformemente in tutti gli intervalli tra $ [0+alpha , 2pi-alpha ] $
Risposte
up
Per la convergenza puntuale so che non c'è nemmeno bisogno di calcolare la serie... si può ottenere infatti usando la formula:
$f(x)=(1/2)(f(x)^+ +f(x)^-)$ se x appartiene all'intervallo $(-\pi, +\pi)$
$f(x)=(1/2)(f(-\pi)^+ +f(+\pi)^-)$ se x è uguale a $-\pi$ oppure $+\pi$
Per l'uniforme non so aiutarti.
Sperando che invece possa essere tu ad aiutare me, sai come si fa a capire in quanti punti di un intervallo una serie converge ad un valore?
Grazie e buona giornata.
$f(x)=(1/2)(f(x)^+ +f(x)^-)$ se x appartiene all'intervallo $(-\pi, +\pi)$
$f(x)=(1/2)(f(-\pi)^+ +f(+\pi)^-)$ se x è uguale a $-\pi$ oppure $+\pi$
Per l'uniforme non so aiutarti.
Sperando che invece possa essere tu ad aiutare me, sai come si fa a capire in quanti punti di un intervallo una serie converge ad un valore?
Grazie e buona giornata.
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