Serie di Fourier
Salve a tutti ho la seguente funzione e la devo scrivere in serie di fourier
$ f_((x))=4x(pi-|x|)^2 $
in genere negli esercizi la funzione viene moltiplicata per una porta in modo che si sa pure dov'è centrato il grafico e quindi si sa anche che è limitato a dei punti. In questo caso come devo fare per andare avanti?? per calcolare i coefficienti di fourier
$ a_n $ e $ b_n $
$ f_((x))=4x(pi-|x|)^2 $
in genere negli esercizi la funzione viene moltiplicata per una porta in modo che si sa pure dov'è centrato il grafico e quindi si sa anche che è limitato a dei punti. In questo caso come devo fare per andare avanti?? per calcolare i coefficienti di fourier
$ a_n $ e $ b_n $
Risposte
Aiuto 
La funzione non è periodica, così com'è scritta... Quindi non vedo come si possa svilupare in s.d.F.
Non è che la funzione \(f\) da sviluppare è quella generata prolungando a tutto \(\mathbb{R}\) per periodicità la funzione \(f_0(x):= 4x(\pi -|x|)^2\) definita in \([-\pi, \pi]\)?
Non è che la funzione \(f\) da sviluppare è quella generata prolungando a tutto \(\mathbb{R}\) per periodicità la funzione \(f_0(x):= 4x(\pi -|x|)^2\) definita in \([-\pi, \pi]\)?
Infatti avevo pensato pure io a questa soluzione. Solo che non so se è possibile fare cosi. Perchè $f$ è dispari quindi considero l'intervallo $ [0,π] $ e prolungo la funzione su tutto R con prolungamento dispari, però il problema che mi sono posto è: si può fare cosi??? o c'è qualche altro modo per risolverla??
Quindi a questo punto sapendo che $ f(x) $ è dispari so che $ an=0 $ e $ bn!= 0 $ ..Quindi mi devo calcolare solo $ bn $
sapendo che
$ f(x)=1/2a_0+sum(an cos nx +bn sinnx) $
e $ bn=2/piint_(0)^(pi) 4x(pi-x)^2 sin nx dx $
devo procedere cosi?!?!!?
Quindi a questo punto sapendo che $ f(x) $ è dispari so che $ an=0 $ e $ bn!= 0 $ ..Quindi mi devo calcolare solo $ bn $
sapendo che
$ f(x)=1/2a_0+sum(an cos nx +bn sinnx) $
e $ bn=2/piint_(0)^(pi) 4x(pi-x)^2 sin nx dx $
devo procedere cosi?!?!!?
Infatti avevo pensato pure io a questa soluzione. Solo che non so se è possibile fare cosi. Perchè $ f $ è dispari quindi considero l'intervallo $ [0,π] $ e prolungo la funzione su tutto R con prolungamento dispari, però il problema che mi sono posto è: si può fare cosi??? o c'è qualche altro modo per risolverla??
Quindi a questo punto sapendo che $ f(x) $ è dispari so che $ an=0 $ e $ bn!= 0 $ ..Quindi mi devo calcolare solo $ bn $
sapendo che
$ f(x)=1/2a_0+sum(an cos nx +bn sinnx) $
e $ bn=2/piint_(0)^(pi) 4x(pi-x)^2 sin nx dx $
devo procedere cosi?!?!!?[/quote]
Procedendo in quel modo ho:
$ bn=2/piint_(0)^(pi) 4x(pi-x)^2 sin nx dx $
Svolgo il quadrato cosi risolvo 3 integrali separatamente ottenendo
$ 2/pi[int_(0)^(pi) 4xpi^2sinnx dx +int_(0)^(pi) 4x^3sinnx dx -int_(0)^(pi) 2x^2pisinnx dx $
che sono tutti integrali per parti
$ 2/pi([4xpi^2(cosnx)/x]_0^pi +int_(0)^(pi) 4pi^2cos(nx)/x dx +[-4x^3(cosnx)/x]_0^pi+$
$int_(0)^(pi) 12x^2cosnx dx+[8x^2pi(cosnx)/x]_0^pi +int_(0)^(pi) 8xpi(cosnx)/n dx $
Arrivo alla soluzione $ (80(-1)^n)/n^3 - 32/n^3 $ controllando con wolframlpha ho notato che la soluzione è simile cioè
$ (16(-1)^n)/n^3 - 32/n^3 $
Inoltre mi da anche $sin npi$ ma in questo caso posso dire che è sempre 0 giusto??visto che $n$ è intero??
Quindi a questo punto sapendo che $ f(x) $ è dispari so che $ an=0 $ e $ bn!= 0 $ ..Quindi mi devo calcolare solo $ bn $
sapendo che
$ f(x)=1/2a_0+sum(an cos nx +bn sinnx) $
e $ bn=2/piint_(0)^(pi) 4x(pi-x)^2 sin nx dx $
devo procedere cosi?!?!!?[/quote]
Procedendo in quel modo ho:
$ bn=2/piint_(0)^(pi) 4x(pi-x)^2 sin nx dx $
Svolgo il quadrato cosi risolvo 3 integrali separatamente ottenendo
$ 2/pi[int_(0)^(pi) 4xpi^2sinnx dx +int_(0)^(pi) 4x^3sinnx dx -int_(0)^(pi) 2x^2pisinnx dx $
che sono tutti integrali per parti
$ 2/pi([4xpi^2(cosnx)/x]_0^pi +int_(0)^(pi) 4pi^2cos(nx)/x dx +[-4x^3(cosnx)/x]_0^pi+$
$int_(0)^(pi) 12x^2cosnx dx+[8x^2pi(cosnx)/x]_0^pi +int_(0)^(pi) 8xpi(cosnx)/n dx $
Arrivo alla soluzione $ (80(-1)^n)/n^3 - 32/n^3 $ controllando con wolframlpha ho notato che la soluzione è simile cioè
$ (16(-1)^n)/n^3 - 32/n^3 $
Inoltre mi da anche $sin npi$ ma in questo caso posso dire che è sempre 0 giusto??visto che $n$ è intero??
La serie di F è scritta così:
$F(x)=a_0+\sum_(n=1)^(oo) a_n\ cos(nx)+\sum_(n=1)^(oo) b_n\ sin(nx) = \sum_(n=0)^(oo) a_n\ cos(nx)+\sum_(n=1)^(oo) b_n\ sin(nx)$
In ogni caso i $b_n$ partono sempre da $n=1$.
Va bene, hai solo dimenticato un "4" nello svolgimento per parti.
$F(x)=a_0+\sum_(n=1)^(oo) a_n\ cos(nx)+\sum_(n=1)^(oo) b_n\ sin(nx) = \sum_(n=0)^(oo) a_n\ cos(nx)+\sum_(n=1)^(oo) b_n\ sin(nx)$
In ogni caso i $b_n$ partono sempre da $n=1$.
Va bene, hai solo dimenticato un "4" nello svolgimento per parti.
Quindi mi sarò dimenticato qualche meno per la strada... Il risultato è
$(16(-1)^n)/n^3 - 32/n^3$
dato da wolframplha.... Quindi posso considerare $sin npi=0$ visto che $n=intero$???
A questo punto $b_n$ lo sostituisco nella $f_(x)$ ottenendo
$F(x)=a_0+\sum_(n=1)^(oo) a_n\ cos(nx)+\sum_(n=1)^(oo) b_n\ sin(nx) = \sum_(n=1)^(oo) ((16(-1)^n)/n^3 - 32/n^3)\ sin(nx)$
dato che $a_n=0$ visto che $f_(x)= dispari$ giusto??
$(16(-1)^n)/n^3 - 32/n^3$
dato da wolframplha.... Quindi posso considerare $sin npi=0$ visto che $n=intero$???
A questo punto $b_n$ lo sostituisco nella $f_(x)$ ottenendo
$F(x)=a_0+\sum_(n=1)^(oo) a_n\ cos(nx)+\sum_(n=1)^(oo) b_n\ sin(nx) = \sum_(n=1)^(oo) ((16(-1)^n)/n^3 - 32/n^3)\ sin(nx)$
dato che $a_n=0$ visto che $f_(x)= dispari$ giusto??
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