Serie di Fourier
Ciao a tutti!
Mi è capitato nel tema esame un esercizio sulle serie di Fourier che non ho proprio capito da dove si parta per risolverlo
Testo:
Si consideri al funzione di periodo $2pi$ definita in $(-pi,pi]$ da $f(x)=10sen^2(x/2)$ e prolungata per periodicità. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette:
1) $b_n = 0 AA n >= 1; a_n = 0 AA n >= 2$
2) $b_n = 0 AA n >= 2; a_n = 0 AA n >= 1$
3) $ sum_(n = 1)^(+oo)a_n^2+b_n^2 $ converge
4) $a_0 = 5$
Io ho provato a calcolarmi i coefficienti.. ma non capisco come faccio a determinare se $n$ deve essere $=>1$ o $>=2$.
Per il punto 3 ho verificato l'uguaglianza di parseval.. e quindi
$(1/pi) int_(-pi)^(pi)|10sen^2(x/2)|^2$
elevandolo alla seconda ottengo un seno alla quarta.. che nel mio intervallo da $-pi$ a $pi$ risulta zero giusto? Quindi posso dire che converge.
Per gli altri punti invece niente da fare
Grazie
Ciaoo
Mi è capitato nel tema esame un esercizio sulle serie di Fourier che non ho proprio capito da dove si parta per risolverlo
Testo:
Si consideri al funzione di periodo $2pi$ definita in $(-pi,pi]$ da $f(x)=10sen^2(x/2)$ e prolungata per periodicità. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette:
1) $b_n = 0 AA n >= 1; a_n = 0 AA n >= 2$
2) $b_n = 0 AA n >= 2; a_n = 0 AA n >= 1$
3) $ sum_(n = 1)^(+oo)a_n^2+b_n^2 $ converge
4) $a_0 = 5$
Io ho provato a calcolarmi i coefficienti.. ma non capisco come faccio a determinare se $n$ deve essere $=>1$ o $>=2$.
Per il punto 3 ho verificato l'uguaglianza di parseval.. e quindi
$(1/pi) int_(-pi)^(pi)|10sen^2(x/2)|^2$
elevandolo alla seconda ottengo un seno alla quarta.. che nel mio intervallo da $-pi$ a $pi$ risulta zero giusto? Quindi posso dire che converge.
Per gli altri punti invece niente da fare
Grazie
Ciaoo
Risposte
[xdom="giammaria"]Sposto in analisi[/xdom]
Beh, per rispondere basta ricordare che:
\[
\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ \cos x
\]
per la formula di bisezione...
\[
\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ \cos x
\]
per la formula di bisezione...
Ciao!
Grazie per la risposta.
Cavolo non mi era venuta proprio in mente la formula di bisezione!! Devo segnarmela bene per la prossima volta.
Adesso riesco a dimostrare che $a_0$ non vale $5$ in quanto:
$1/pi int_(-pi)^(pi) (1-cosx)dx = 5-5-5/pi(senpi - sen(-pi) = 0$ quindi escludo anche l'altro punto.
Mi rimane da controllare i primi due punti... in questo caso non ho ancora capito una cosa.. la scelta di $n>=1$ o $n>=2$ la faccio provando ad inserire $1$ in entrambi i casi e vedere quali dei due sarà corretto?
Quindi calcolo $b_n$ con $n=1$ ed ottengo:
$1/pi int_(-pi)^(pi) (1-cosx)(senx) = 0$ quindi in questo caso va bene con $n=1$
Calcolo poi $a_n$ con $n=1$ ed ottengo:
$1/pi int_(-pi)^(pi) (1-cosx)(cosx) = -1$ quindi con $n=1$ non risulta zero.
Allora deve essere per forza la risposta $b_n=0 AA n>=1, a_n=0 AA n>=2$
Può andare bene così? Perchè altrimenti se provo con $n=2$ il calcolo dell'integrale è già più complesso..
Infine ultima cosa.. adesso pensandoci bene anche la convergenza dell'uguaglianza di parseval non mi torna più.. perchè se faccio $1/pi int_(-pi)^(pi) |f(x)|^2 dx$ ottengo ben $75pi$ e quindi non converge mica!
Grazie
Ciao
Grazie per la risposta.
Cavolo non mi era venuta proprio in mente la formula di bisezione!!
Devo segnarmela bene per la prossima volta.Adesso riesco a dimostrare che $a_0$ non vale $5$ in quanto:
$1/pi int_(-pi)^(pi) (1-cosx)dx = 5-5-5/pi(senpi - sen(-pi) = 0$ quindi escludo anche l'altro punto.
Mi rimane da controllare i primi due punti... in questo caso non ho ancora capito una cosa.. la scelta di $n>=1$ o $n>=2$ la faccio provando ad inserire $1$ in entrambi i casi e vedere quali dei due sarà corretto?
Quindi calcolo $b_n$ con $n=1$ ed ottengo:
$1/pi int_(-pi)^(pi) (1-cosx)(senx) = 0$ quindi in questo caso va bene con $n=1$
Calcolo poi $a_n$ con $n=1$ ed ottengo:
$1/pi int_(-pi)^(pi) (1-cosx)(cosx) = -1$ quindi con $n=1$ non risulta zero.
Allora deve essere per forza la risposta $b_n=0 AA n>=1, a_n=0 AA n>=2$
Può andare bene così? Perchè altrimenti se provo con $n=2$ il calcolo dell'integrale è già più complesso..
Infine ultima cosa.. adesso pensandoci bene anche la convergenza dell'uguaglianza di parseval non mi torna più.. perchè se faccio $1/pi int_(-pi)^(pi) |f(x)|^2 dx$ ottengo ben $75pi$ e quindi non converge mica!
Grazie
Ciao
Ma non capisco perché tu faccia conti... Voglio dire, una volta che hai usato la bisezione ottieni:
\[
f(x) = 5 - 5\cos x
\]
che è già lo sviluppo in serie di Fourier della \(f\) in \([-\pi, \pi]\).
Quindi:
\[
\begin{split}
a_0 &= 10\; ,\\
a_1 &= 5\; ,\\
\forall n\geq 2,\ a_n &= 0\; ,\\
\forall n\geq 1,\ b_n &= 0\; ;
\end{split}
\]
le affermazioni corrette, allora, sono la 1 e la 3 (che sarebbe corretta "a priori", come conseguenza dell'uguaglianza di Parseval).
\[
f(x) = 5 - 5\cos x
\]
che è già lo sviluppo in serie di Fourier della \(f\) in \([-\pi, \pi]\).
Quindi:
\[
\begin{split}
a_0 &= 10\; ,\\
a_1 &= 5\; ,\\
\forall n\geq 2,\ a_n &= 0\; ,\\
\forall n\geq 1,\ b_n &= 0\; ;
\end{split}
\]
le affermazioni corrette, allora, sono la 1 e la 3 (che sarebbe corretta "a priori", come conseguenza dell'uguaglianza di Parseval).
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