Serie di Fourier

[floppyes]

Ciao a tutti!

Ho svolto tutto quanto l'esercizio sulla serie di Fourier, ma il mio risultato è diverso da quello del libro e non riesco a capire dove ho sbagliato.

Testo:
Si consideri la funzione $f:R->R$ di periodo $2pi$ definita in $(-pi,pi]$ da
${ (2pi-|x|),( 0 ):}$
la prima vale se se $|x|
Si calcoli $a_1$ e $b_1$ essendo ${a_n} ninN$ e ${b_n} n in Z^+$ i suoi coefficienti di Fourier.

Soluzione:
Calcolo $a_1$
$a_1=2/pi int_(0)^(pi/2) (2pi-x)cosxdx$ il quale svolgendolo per parti risulta $3+2/pi$

Calcolo poi $b_1$
$b_1=2/pi int_(0)^(pi/2) (2pi-x)senxdx$ che risulta $4-2/pi$

Quindi la somma $a_1+b_1=3+2/pi+4-2/pi$ che risulta $7$

Invece il risultato corretto è solo $3+2/pi$ (in pratica $a_1$)

In che punto sbaglio?

Grazie mille
Buona serata
Ciao

[ciampax]

$|x|<\pi/2$ significa $-\pi/2< x<\pi/2$.... (benedetti valori assoluti!)

[floppyes]

Esatto quindi il seno tra $-pi/2$ e $pi/2$ si annulla e risulta $0$.. quindi ${b_1}$ vale $0$

Invece il coseno si annulla tra $-pi$ e $pi$ giusto?

Grazie ancora per l'aiuto
Ciao!

[ciampax]

Non ho capito bene cosa intendi: quello che sbagli è che gli integrali hanno come estremi di integrazione $\pm\pi/2$ e non $0,\pi/2$ come avevi fatto prima.

[gugo82]

La funzione è pari, quindi i \(b_n\) sono nulli.
D'altra parte, per gli \(a_n\) si usa la ben nota formula, i.e.:
\[
a_n = \frac{1}{\pi}\ \int_{-\pi}^\pi f(x)\ \cos(n\pi x)\ \text{d} x\; ;
\]
dato che \(f\) è pari e che essa è nulla per \(\pi/2 \[
\begin{split}
a_n &=\frac{2}{\pi}\ \int_0^{\pi/2} f(x)\ \cos (n\pi x)\ \text{d} x \\
&= \frac{2}{\pi}\ \int_0^{\pi/2} (2\pi -x)\ \cos (n\pi x)\ \text{d} x\\
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale si fa per parti, distinguendo i casi \(n=0\) ed \(n\geq 1\); dovrebbe essere \(a_0= \frac{7\pi}{4}\) ed:
\[
a_n=\frac{3}{n}\ \sin \left( \frac{n\pi}{2}\right) + \frac{2}{\pi n^2}\ \left( 1-\cos \left( \frac{n\pi}{2}\right)\right)\; .
\]

[floppyes]

Ciao!

Si si perfetto ora ho capito tutto..

Grazie ancora
Ciaoo!