Serie di fouier

[nikap94]

ciao ragazzi, come risolvereste questo esercizio?
Data

$ f(x)={1 se -\pi calcolare la somma della serie numerica:
$ ∑1/(2k+1)^2 $

grazie

[billyballo2123]

Calcoli i coefficienti di Fourier
\[
a_k= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!f(x)\cos(x)\, dx, \qquad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!f(x)\sin(x)\, dx.
\]
Trovi $a_0=2+\pi/2$, $a_k=0$ per $k$ pari diverso da $0$, $a_k=-\frac{2}{k^2\pi}$ per $k$ dispari e $b_k=0$ per ogni $k$.

Scrivi la serie di Fourier di $f$:
\[
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)=1+\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\cos(kx).
\]
Ora (ridefinendo $f(x)=1$ in $x=0$ per renderla continua) si ha che
\[
1+\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\cos(k0)=f(0)=1
\]
da cui deduci
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.
\]

[stormy1]

per la precisione,
$ a_0=1/piint_(-pi)^(pi) f(x)dx $
$ a_k=1/piint_(-pi)^(pi) f(x)coskxdx $
$ b_k=1/piint_(-pi)^(pi) f(x)senkxdx $

anche se non influenza il risultato,mi risulta $b_k=(-1)^(k+1)/k$
d'altronde, se avessimo uno sviluppo in soli coseni avremmo una funzione pari

poi forse è meglio precisare, per una maggiore comprensione,che la serie per $x=0$ converge a $ (lim_(x -> 0^-)f(x)+lim_(x -> 0^+)f(x))/2=1 $

edit : noto che si è molto indulgenti verso gli errori degli altri, mentre appena commetto un errore veniale non si va troppo per il sottile e si scrive subito FALSO (molto provocatoria questa parola ,c'è modo e modo)
non so se essere arrabbiato o lusigato da tanta attenzione

[billyballo2123]

Ops... è vero ho sbagliato i calcoli... poi la serie va calcolata in $x=0$ e di conseguenza $\sin(kx)=0$ per ogni $k\in \mathbb{N}$, però come precisa stormy i $b_k$ non sono nulli.