Serie di Analisi I (forse risolta)

[Misctero]

Salve, ho affrontato oggi questo esercizio:

- $\sum_{n=1}^(+oo)((1 - n^(1 / 2) + n) / n)^(n^(3 / 2))$

Ed ho ragionato così: "se tolgo il +1 al numeratore e riscrivo l'esponente ottengo un argomento che tende a 1/(e^n) ed una serie con questo argomento converge". il ragionamento è valido? va bene? devo fare qualche passaggio in più o sono totalmente fuori strada?

$((1 - n^(1 / 2) + n) / n)^(n^(3 / 2))$ -> $(-1/(n^(1/2)) + 1) ^(n*n^(1 / 2))$ -> $(1/e)^n$

[Weierstress]

Non sei fuori strada, solo cercherei di essere un filo più chiaro. Ad esempio, non scambiare $x$ con $n$

[Misctero]

"Weierstress":Non sei fuori strada, solo cercherei di essere un filo più chiaro. Ad esempio, non scambiare $x$ con $n$

hehe, scusa, la tensione pre esame.... sono tutte $n$, ho notato che è anche risolvibile col criterio del rapporto, ma escono troppi calcoli. Quindi va bene scrivere quello che ho scritto?

[pilloeffe]

Ciao Misctero,

"Misctero":Quindi va bene scrivere quello che ho scritto?

No, non va bene: non puoi passare al limite per $ n \to +\infty $ solo dove ti conviene e poi lasciare "casualmente" la $n$ ad esponente solo perché ti fa comodo... Quando si passa al limite si passa al limite e lo si fa per tutto.
D'altronde, prima di tutto verificherei la condizione necessaria per la convergenza, cioè $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $. Appurato che ciò è vero (c'è da risolvere un limite...) applicherei il criterio del rapporto: si trova che la serie proposta è convergente.

[Misctero]

"pilloeffe":Ciao Misctero,

[quote="Misctero"]Quindi va bene scrivere quello che ho scritto?

No, non va bene: non puoi passare al limite per $ n \to +\infty $ solo dove ti conviene e poi lasciare "casualmente" la $n$ ad esponente solo perché ti fa comodo... Quando si passa al limite si passa al limite e lo si fa per tutto.
D'altronde, prima di tutto verificherei la condizione necessaria per la convergenza, cioè $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $. Appurato che ciò è vero (c'è da risolvere un limite...) applicherei il criterio del rapporto: si trova che la serie proposta è convergente.[/quote]

Ciao Pilloeffe, ovviamente ho già verificato la convergenza della successione, il passaggio che ho fatto l'ho fatto pensando ai limiti di funzioni composte, so che le funzioni non sono successioni ma credevo che la regola valesse per entrambe quindi:
- la regola non vale per entrambe
o
- ho sbagliato ad applicarla?

per quanto riguarda il criterio del rapporto: come ho detto già avevo verificato che fosse applicabile, ma i calcoli da fare sono tanti e cercavo soluzioni più veloci (ammesso che ci siano).

grazie